Leyes de los Exponentes y Ecuaciones Lineales: Conceptos Fundamentales

Leyes de los Exponentes

Las leyes de los exponentes, también llamadas potencias o índices, se derivan de tres ideas fundamentales:

• Primera: El exponente es un número que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.
• Segunda: Lo contrario de multiplicar es dividir, por lo que un exponente negativo significa dividir.
• Tercera: Un exponente fraccionario como 1/n representa la raíz enésima: $x^{1/n} = \sqrt[n]{x^1}$. Por ejemplo: $5^{3/5} = \sqrt[5]{5^3}$.

Leyes principales

• Primera ley: Cualquier base elevada a la 1 es igual a sí misma. Ej: $3^1 = 3$.
• Segunda ley: Cualquier base elevada a la cero resulta en uno. Ej: $1^0 = 1$.
• Tercera ley: Cualquier base elevada a una potencia negativa es igual a uno entre la base elevada a la potencia positiva. Ej: $x^{-n} = 1/x^n$; $10^{-2} = 1/10^2 = 1/100 = 0.01$.
• Cuarta ley: Al multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base y se suman los exponentes. Ej: $x^n \cdot x^m = x^{n+m}$; $10^2 \cdot 10^3 = 10^5 = 100,000$.
• Quinta ley: Al dividir potencias de la misma base, se escribe la base y se restan los exponentes. Ej: $10^3 / 10^2 = 10^1 = 10$.
• Sexta ley: Si elevamos una potencia a otra, se escribe la base y se multiplican los exponentes. Ej: $(10^2)^3 = 10^6 = 1,000,000$.
• Séptima ley: Para extraer la raíz enésima de una potencia, se coloca la base elevada al cociente del exponente entre el índice del radical. Ej: $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$.

Ecuaciones y Sistemas

Ecuación lineal

Es una proposición que indica que dos expresiones son iguales. Las dos expresiones que conforman una ecuación se llaman lados o miembros y están separadas por el signo de igualdad. Cada ecuación contiene al menos una variable. Ej: $x + 2 = 3$. A las ecuaciones lineales también se les conoce como ecuaciones de primer grado.

Variable

Es un símbolo que puede ser reemplazado por un número cualquiera de un conjunto de valores. Los símbolos más comunes son $x, y, z, w$ y $t$. Ej: $a + 2 = 3$.

Punto de equilibrio

Se puede calcular en unidades monetarias o físicas. Fórmulas:

• Ingresos = Costos
• Ingresos = (Costo Variable $\cdot$ x) + Costo Fijo
• Precio Variable $\cdot$ x = (Costo Variable $\cdot$ x) + Costo Fijo
• $mx = mx + b$
• Utilidad = Ingresos - Costos

Sistema de ecuaciones

Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Son simultáneas cuando se satisfacen para los mismos valores de las incógnitas. Ej: $x + y = 5$ y $x - y = 1$ (donde $x = 3$ y $y = 2$).

Ecuaciones equivalentes

Son aquellas que se obtienen una de la otra. Ej: $x + y = 4$ y $2x + 2y = 8$.