Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Tabla de Derivadas: Simples y Compuestas

Reglas Adicionales

• Regla de la cadena: (g ∘ f)'(x) = g'(f(x)) · f'(x)
• Producto de una constante por una función: (k · f)'(x) = k · f'(x)

Geometría de la Función

• Recta Tangente: y - y₀ = f'(x₀) · (x - x₀)
• Recta

Reducción de vectores deslizantes:

Centro de reducción de sistema;
Es reducir un sistema a un único vector con un punto de aplicación.

1. Resultante; es un sistema de vectores concurrentes se reduce un vector único

2. Un sistema de vectores coplanarios  puede reducirse a una resultante general, , aplicada en un punto G del plano y un momento  perpendicular al plano.

Si, el sistema es equivalente a un vector único.

Si, el sistema se reduce a cero si  y es equivalente a un par sí

3. Un sistema de vectores paralelos a una recta R

Si, el sistema se reduce un vector único paralelo a R

Si,  la reducción es un par provocando que el sistema sea equivalente a cero.

El punto G dónde está aplicada la resultante se obtiene:

;  por pertenecer 0... Continuar leyendo "Sistema de vectores concurrentes" »

Equacions de la recta

Nota: Quan el vector director d és (0,1), no existeixen l'equació explícita ni la punt-pendent.

• Vectorial: r: (x,y) = (P1,P2) + t · (d1, d2)
• Paramètriques: r: x = P1 + t · d1; y = P2 + t · d2
• Contínua: r: (x - P1) / d1 = (y - P2) / d2
• Implícita: n · (x - P1, y - P2) = 0
  • Si d1=0: r: x - P1 = 0
  • Si d2=0: r: y - P2 = 0
• Explícita: y = mx + n
• Punt-pendent: y - P2 = m · (x - P1)

Feix de rectes

Procediment: substituir, multiplicar, agrupar en x, y i termes independents, calcular la d amb l'equació resultant, obtenir el pendent, igualar i calcular lambda (λ) per substituir en l'equació original.

• Coneixes el vèrtex: (x - x0) + λ(y - y0) = 0
• Coneixes 2 rectes del feix: (AX + BY + C) + λ(A'X + B'Y + C') = 0

Posició relativa

Quan... Continuar leyendo "Guia d'Equacions de la Recta i Geometria Analítica" »

Vectors:

Mòdul:

Vectors equipolents: Aquells que tenen les mateixes components cartesianes; AB (2,-5) i CD (2,-5).

De coordenades polars a components cartesianes:

Vector unitari:

Producte escalar:

Vectors perpendiculars: Canviar el signe d'una de les components d'un dels vectors.

Rectes:

Equació vectorial:

Equacions paramètriques:

Equació contínua de la recta:

Equació general:

Vector director de la recta: s (-b,a).

Equació explícita:

On m (pendent) i n (ordenada a l'origen).

Equació canònica:

Determinació de rectes:

Paral·lelisme:

1. Obtenir el vector director o pendent de la recta origen.
2. Obligar a la nova equació a que passi pel nou punt.

Distàncies:

• Entre dos punts: Buscar el vector que els uneix i calcular-ne el mòdul.
• Entre un punt i una recta:

Politikoak:

- Arazo globalak: klima aldaketa (kutsadura industriek), terrorismo, Frantzia krisia.

- Eragile globalak: Europar Batasuna, Nazio Batuen Erakundea, Gobernuz Kanpoko Erakundea.

Ekonomia:

- Mundu mailan esplotazio hazkundea, produktuen garraioak, multinazional hazkundea, nazioen arteko merkataritza liberazioa (mugak desagertu dira).

Kulturala:

- Hizkuntza (ingelesa), musica, zinema, telebista...

SENTITU, PENTSATU, EKIN.

Sentitu: lehengo bihotzean sentitzen dugu.

Pentsatu: gero pentsatzeen dugu laguntza edo ez.

Ekin: eta azkenik egiten dugu.

Globalean pentsatu eta Lokalean ekin egitea ikasi behar dugu.

Garapena:

Herralde zenbateraino garatua dagoen neurtzeko modua, ekonomikoki neurtzen da.

Càlcul vector a partir de dos punts: AB = B - A = (b₁ - a₁, b₂ - a_2>) --> (v₁, v_2>)

Mòdul d'un vector (distància que hi ha entre els dos punts) v = (v1)² + (v2)²

Dos vectors són de la mateixa direcció si tenen el mateix angle angle = arctan(v₂ / v₁)

Vectors equipolents: mateixa direcció, mòdul i sentit (són paral·lels)

Vector unitari: el seu mòdul és 1 --> calcular el mòdul i dividir-lo per cada nombre

Suma i resta de vectors: a + b = (ax + bx, ay + by) a - b = (ax - bx, ay - by)

Multiplicació d'un vector per un nombre real k k · (ax, ay) = (kax, kay)

Combinació lineal de vectors --> w = k · u + h · v

Producte escalar entre dos vectors: u · v = xu · xv + yu · yv o u · v = u · v · cos(x)

Cos(x) = u · v / u · v

Parlamentarismoa eta botere banaketa

Parlamentarismo izeneko sistema politikoan, herritarrek aukeratutako parlamentua arduratzen da legeak egiteaz eta gobernuaren jarduna kontrolatzeaz. Sistema horrek berekin dakar botereen banaketa, lehen aldiz John Locke-k proposatu zuena, monarkia parlamentarioaren oinarriak ezarri zituenean.

Botere legegilea

Botere legegilea: legeak sortzeaz arduratzen da. Guztien ongia izan behar du xedetzat, eta berdina izan behar du guztiontzat. Bozketa bidez hautatzen da.

Botere betearazlea

Botere betearazlea: botere legegileak egindako legeak gauzatzeaz edo betetzeaz arduratzen da. Gobernuaren esku dago.

Botere federatiboa

Botere federatiboa: beste herrialde batzuekiko harremanez, merkataritzaz eta estatuaren segurtasunaz... Continuar leyendo "Parlamentarismoa, botereak eta pentsamolde politikoak" »

Teorema Central del Límite (TCL)

Dada una población de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$, no necesariamente normal, la distribución de las medias de las muestras de tamaño $n$ cumple lo siguiente:

• Tiene la misma media, $\mu$, que la población.
• Su desviación típica es $\sigma / \sqrt{n}$ y, por consiguiente, disminuye al aumentar $n$.
• Cuando $n \geq 30$, es prácticamente normal.

Es importante señalar que este teorema es válido cualquiera que sea la distribución de la población de partida, tanto si es discreta como continua.

El grado de aproximación de la distribución de las medias muestrales a la correspondiente normal depende del tipo de población de partida y de $n$:

• Si la población de partida es normal, también lo será

Política econòmica del franquisme en les seves diferents etapes i l'evolució econòmica del país

Explica la política econòmica del franquisme en les seves diferents etapes i l'evolució econòmica del país: La dictadura franquista va tenir una llarga durada de gairebé 4 dècades (1939-1975), per la qual cosa podem trobar, al costat de les permanències, també canvis. Globalment, podem distingir 4 grans fases: l'autarquia i l'aïllament (1939-1953), una petita obertura (1953-1959), el desenvolupisme (1959-1973) i la crisi final (1973-1975).

Autarquia (1939-1953)

Després de la Guerra Civil (1936-1939), Espanya és un país arrasat i el règim pretén aixecar-lo amb una política autàrquica i fortament intervencionista. Les relacions amb... Continuar leyendo "Política econòmica del franquisme: etapes i evolució" »

L'estadística de població és important per a l'estudi de la població d'un país, ja que no només determina el nombre d'habitants, sinó que també permet conèixer les característiques demogràfiques (edat, sexe, nacionalitat), socials i econòmiques (llengua parlada, nivell d'estudis, renda, habitatge).

Fonts

Cens

El primer cens d'Espanya es va realitzar el 1768. Des de 1950 va acompanyat del cens d'habitatge. El realitza cada deu anys l'INE; no s'actualitza permanentment i les dades recollides estan emparades pel secret estadístic.

Padró

És el registre administratiu realitzat pels ajuntaments amb la finalitat de conèixer el nombre de residents en el municipi i el seu domicili en el mateix. Les xifres oficials de la població espanyola... Continuar leyendo "Demografia: fonts, conceptes i indicadors de població" »