Fundamentos y Métodos de Resolución de Ecuaciones y Sistemas

Ecuaciones de Segundo Grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar de la forma ax² + bx + c = 0, siendo a, b y c números reales y a ≠ 0.

• Si b y c son números distintos de cero, se dice que la ecuación es completa.
• Si b = 0 o c = 0, la ecuación es incompleta.

Discriminante

El discriminante de una ecuación de segundo grado es: Δ = b² - 4ac.

• Δ > 0: tiene dos soluciones.
• Δ = 0: tiene una solución.
• Δ < 0: no tiene soluciones reales.

Ecuaciones Bicuadradas

Una ecuación bicuadrada es una ecuación que se puede expresar de la forma ax⁴ + bx² + c = 0, con a, b y c números reales y a ≠ 0.

Ecuaciones con Fracciones Algebraicas

Para resolverlas, eliminamos denominadores multiplicando por su mínimo común múltiplo y después resolvemos la ecuación resultante.

Ecuaciones con Radicales

Son aquellas ecuaciones en las que aparece la variable bajo el signo de la raíz. Para resolverlas, se aíslan las raíces, una a una, en uno de los miembros y se eleva la ecuación al cuadrado.

Factorización de Ecuaciones

Para calcular la solución de la ecuación, hay que igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones resultantes. Una manera de resolver las ecuaciones de grado mayor que 2 es factorizarlas mediante el método de Ruffini y extraer factor común.

Sistemas de Ecuaciones

Una ecuación lineal es una ecuación de grado 1 que puede tener una o varias incógnitas. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con varias incógnitas para el que se quiere encontrar una solución común.

Métodos de Resolución

• Método de sustitución: Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones y sustituimos el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.
• Método de igualación: Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones, igualamos las expresiones y resolvemos la ecuación resultante.
• Método de reducción: Igualamos los coeficientes de una de las incógnitas, sumamos o restamos las dos ecuaciones y resolvemos la ecuación que resulta.

Clasificación de Sistemas

Los sistemas de ecuaciones lineales, atendiendo a su número de soluciones, se clasifican en:

• Compatible: Cuando el sistema tiene alguna solución.
  • Si la solución es única, el sistema es determinado.
  • Si hay más de una solución, el sistema es indeterminado (infinitas soluciones).
• Incompatible: Cuando el sistema no tiene solución.