Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Conceptos Fundamentales de Espacios Vectoriales

Definición de Espacio Vectorial Real

Un espacio vectorial real es un conjunto V, no vacío, a cuyos elementos llamaremos vectores, con dos operaciones: una interna (simbolizada con +) y otra externa (simbolizada con ·), que cumplen las siguientes propiedades:

• I. (V, +) tiene estructura de grupo abeliano.
• II. La operación externa (·): R × V → V.

Subespacio Vectorial

Dado un espacio vectorial real V, diremos que un subconjunto no vacío S de V es un subespacio vectorial si, con las restricciones de las operaciones definidas en V sobre S, este tiene por sí mismo estructura de espacio vectorial.

Dependencia e Independencia Lineal de Vectores

Un conjunto de vectores de un espacio vectorial V se dice... Continuar leyendo "Dominando Espacios Vectoriales: Definiciones Clave, Rango y Transformaciones de Gauss" »

Propiedades de los determinantes

• El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.
• Si en una matriz cuadrada intercambiamos dos de sus filas o columnas, su determinante cambia de signo.
• Si en una matriz cuadrada multiplicamos por un mismo número todos los elementos de una misma fila o columna, su determinante queda multiplicado por ese número.
• Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna de ceros, su determinante es cero.
• Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante es cero.
• Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales, su determinante es cero.
• El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes.

9. Determina el menor complementario de A21

a)... Continuar leyendo "Propiedades de Determinantes, Rango y Operaciones con Matrices" »

Parlem de figures iguals quan tenen iguals els seus angles i costats.

Fundamentos de la Estadística

La estadística fue creada por los egipcios y fue mejor utilizada por la cultura romana.

Conceptos Clave en Estadística

Estadística

Ciencia que trata de la recolección, clasificación y presentación de los hechos sujetos a una apreciación numérica, con base en la explicación, descripción y comparación de los fenómenos.

Objetivo de la Estadística

Es la obtención de conclusiones basadas en datos experimentales.

Clasificación de la Estadística

Se clasifica en descriptiva o deductiva e inferencial o inductiva.

Tipos de Estadística

Estadística Descriptiva

Se emplea simplemente para resumir de forma numérica o gráfica un conjunto de datos. Se restringe a describir los datos que se analizan.

Objetivo de la Estadística

REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS EN COMA O PUNTO FIJO

DECIMAL DESEMPAQUETADO

en su cuarteto de la izquierda cuatro unos (1111)
Denominados bits de zona.

El cuarteto de la izquierda de la última cifra (cifra de la derecha) representa el signo del número, siendo:

1100 para el signo positivo (+)

1101 para el signo negativo (-).

Ejemplo:
El 19 sería:                                                                                                                                                

Ejemplo

-19 sería:

1111                0001               ... Continuar leyendo "Pasar a signo magnitud" »

Formulario de Estadística

1. Regresión y Correlación

• Varianza (σ²): σ = √[Σ(xi² · fi) / n - (media de x)²]
• Covarianza (σxy): σxy = Σ(xi · fi · yi) / n - (media de x · media de y)
• Coeficiente de correlación (r): r = σxy / (σx · σy)
• Recta de regresión: y = media de y + (σxy / σx²) · (x - media de x)

2. Medidas en Intervalos

Cálculo de límites: Límite inferior + [(n/4 - Fi anterior) / fi] · (distancia de límites)

Desviación típica: σ = √varianza

3. Distribuciones de Probabilidad

Distribución Binomial

• Fórmula: P(X=k) = (n sobre k) · p^k · q^(n-k)
• Interpretación:
  • >= : al menos
  • <= : a lo sumo
  • k = número igualatorio

Distribución Normal

• Aproximación Binomial a Normal: N · p > 5; σ = √Npq > 5
• Tipificación:

Introdución

As linguas románicas acadan a madureza a partir do século VIII. Os primeiros documentos escritos en galego datan de finais do século XII. Desde finais do século XIV ábrese unha paréntese de tres séculos de decadencia. A perda de prestixio lingüístico sufrido nesta etapa trouxo consecuencias negativas para a vida social que aínda son perceptibles hoxe.

Galego Antigo

O período medieval da historia do galego esténdese desde o século IX ata o XV. A lingua deste período recibe o nome de galego antigo ou galego-portugués.

Evolución e periodización do galego antigo

O galego nace e é falado no territorio que abarcaba a antiga Gallaecia romana; isto é, o que hoxe corresponde a Galicia, o norte de Portugal ata o río Douro... Continuar leyendo "Historia da Lingua Galega: Da Orixe á Actualidade" »

Reglas Básicas de Derivación

A continuación, se presentan las fórmulas para derivar funciones comunes:

• Regla del producto: Si y = f(x) * g(x), entonces y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
• Regla del cociente: Si y = f(x) / g(x), entonces y' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]²
• Regla de la potencia: Si y = [f(x)]ⁿ, entonces y' = n * [f(x)]^(n-1) * f'(x) (Ejemplo: para y = x³, y' = 3x²)
• Raíz cuadrada: Si y = √f(x), entonces y' = f'(x) / (2√f(x))
• Función exponencial (base a): Si y = a^[f(x)], entonces y' = a^[f(x)] * ln(a) * f'(x) (Ejemplo: para y = 3ˣ, y' = 3ˣ * ln(3))
• Función exponencial (base e): Si y = e^[f(x)], entonces y' = e^[f(x)] * f'(x) (Ejemplo: para y = eˣ, y' = eˣ)
• Función potencial-exponencial: Si y = [f(x)]^[g(x)], entonces y'

El materialisme històric de Marx

Marx diu que la realitat no és estàtica sinó dinàmica i canviant. Marx és hegelià i no compartex la concepció de l'Idea històrica com a procés dialèctic: té com a motor les contradiccions i oposicions, però Hegel no veu que en aquest procés el desplegament de l'esperit sigui l'oposició i superació de diversos sistemes de producció de béns materials. Per això el marxisme és considerat un materialisme dialèctic, perquè la matèria fa avançar la història en un procés de confrontació i superació.

El materialisme marxista consisteix a afirmar que la història avança impulsada per les tensions relatives a la producció (tesi, antítesi, síntesi).

Materialisme històric

El materialisme històric... Continuar leyendo "El materialisme històric de Marx: lluita de classes i alliberament" »

O Ensaio Galego: Evolución e Temáticas Clave

O ensaio foi un xénero inaugurado nas letras galegas antes da Guerra do 36 polo Grupo Nós e retomado polo Grupo Galaxia para a articulación do novo pensamento. Na produción ensaística actual convive o ensaio con outro tipo de traballos.

Factores da Eclosión do Xénero (Décadas dos 80 e 90)

Na década dos 80 e os 90 conxugáronse distintos factores que produciron a eclosión do xénero:

• A) A consolidación de revistas de análise, debate e pensamento.
• B) A creación de coleccións específicas para o xénero ensaístico nas editoriais.
• C) A galeguización de esferas universitarias e liñas de investigación propias en galego.

Tipos de Ensaio Galego e Autores Destacados

Ensaio Económico

Un dos primeiros... Continuar leyendo "O Ensaio Galego: Evolución, Temáticas e Autores Clave" »