Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Leyes de los Exponentes

Las leyes de los exponentes, también llamadas potencias o índices, se derivan de tres ideas fundamentales:

• Primera: El exponente es un número que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.
• Segunda: Lo contrario de multiplicar es dividir, por lo que un exponente negativo significa dividir.
• Tercera: Un exponente fraccionario como 1/n representa la raíz enésima: $x^{1/n} = \sqrt[n]{x^1}$. Por ejemplo: $5^{3/5} = \sqrt[5]{5^3}$.

Leyes principales

• Primera ley: Cualquier base elevada a la 1 es igual a sí misma. Ej: $3^1 = 3$.
• Segunda ley: Cualquier base elevada a la cero resulta en uno. Ej: $1^0 = 1$.
• Tercera ley: Cualquier base elevada a una potencia negativa es igual a uno entre la base elevada a la potencia

Orientación Instrumental en Fotogrametría

La orientación instrumental consiste en conseguir la reproducción de la posición exacta de los dos haces de rayos y que su situación respecto al terreno sea igual a la que tuvieron al ser impresionadas ambas fotografías durante el vuelo. Esta operación está compuesta por la orientación interna y la orientación externa.

Orientación Interna

Es la reconstrucción de los haces perspectivos que originaron cada imagen.

Orientación Externa

A través de ella se consigue que todos los haces perspectivos, formados en las dos proyecciones continuas mediante la orientación interna, coincidan en el espacio y tengan correspondencia unívoca con respecto al terreno; es decir, idéntica posición a la que... Continuar leyendo "Fundamentos de la Orientación Instrumental en Fotogrametría" »

Ecuaciones de Segundo Grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar de la forma ax² + bx + c = 0, siendo a, b y c números reales y a ≠ 0.

• Si b y c son números distintos de cero, se dice que la ecuación es completa.
• Si b = 0 o c = 0, la ecuación es incompleta.

Discriminante

El discriminante de una ecuación de segundo grado es: Δ = b² - 4ac.

• Δ > 0: tiene dos soluciones.
• Δ = 0: tiene una solución.
• Δ < 0: no tiene soluciones reales.

Ecuaciones Bicuadradas

Una ecuación bicuadrada es una ecuación que se puede expresar de la forma ax⁴ + bx² + c = 0, con a, b y c números reales y a ≠ 0.

Ecuaciones con Fracciones Algebraicas

Para resolverlas, eliminamos denominadores multiplicando... Continuar leyendo "Fundamentos y Métodos de Resolución de Ecuaciones y Sistemas" »

Concepto de Función Matemática

Unha función é unha relación entre dúas magnitudes, de tal maneira que a cada valor da primeira asígnalle un único valor da segunda. Se A e B son dous conxuntos, que chamaremos conxunto inicial e conxunto final, unha función f de A en B, que se expresa f: A → B, relaciona cada elemento de A cun único elemento de B. Se a ∈ A está relacionado con b ∈ B, escríbese f(a) = b e dise que b é a imaxe de a e que a é a antiimaxe de b.

Dominio e Percorrido dunha Función

• Dominio (Dom(f)): É o conxunto formado polos elementos de A que teñen imaxe: Dom(f) = {x ∈ A / f(x) ∈ B}. Un elemento calquera do dominio, "x", denomínase variable independente.
• Percorrido ou Imaxe (Im(f)): É o conxunto formado polas

Un caso particular son as funcións de proporcionalidade inversa, y = k/x, cuxa gráfica son hipérbolas equiláteras.

Funcións Irracionais

y = f(x) = n√g(x)

• Dominio:
  • Dom(f) = R no caso de que n sexa impar.
  • Dom(f) = R - {x / g(x) < 0} no caso de que n sexa par.

Función Exponencial

y = f(x) = ax, onde a é positivo e distinto de 1.

• Dominio: Dom(f) = R
• Imaxe: Im(f) = R⁺
• Se a > 1, a función crece a medida que aumenta x.
• Se a < 1, a función decrece a medida que aumenta x.

Función Logarítmica

y = f(x) = loga x, onde a é positivo e a ≠ 1.

• Dominio: Dom(f) = (0, +∞) (o logaritmo dos números negativos e do 0 non son números reais).
• Imaxe: Im(f) = R
• Se a > 1, é crecente.
• Se a < 1, é decrecente.
• Corta o eixe OX no punto (1,0).
• A función

• Anatomía Dental

  Incisivos Centrales Superiores (ICS)

  Erupcionan a los 7 años. Ocluyen con los incisivos centrales inferiores y la mitad mesial de los incisivos laterales inferiores. VESTIBULAR: forma de pala, superficie convexa con dos bordes. Corona más larga inciso-cervical que mesio-distal. Más estrecha en el tercio cervical y ancha en el incisal. Más convexa distal y recta mesial. Línea cervical convexa en sentido apical. INCISAL: ancho y mayor diámetro mesio-distal de todos los incisivos. Ángulo mesial recto y distal redondeado. Tres mamelones que desaparecen con el tiempo. PALATINA: forma triangular, superficie cóncava delimitada por dos rebordes marginales que dan lugar al cíngulo, donde puede formarse el agujero ciego (punto

Resumen de Conceptos Fundamentales de Matrices

Definición y Estructura de Matrices

Las matrices son distribuciones rectangulares de números o funciones. Se denotan con letras mayúsculas y se componen de:

• Filas: Disposición horizontal.
• Columnas: Disposición vertical.

Tipos de Matrices según su Dimensión

Matriz Cuadrada

Tiene igual número de filas y de columnas (M = N).

Matriz Rectangular

Posee diferente número de filas y de columnas. Se clasifica en:

• Vertical: Si M > N (más filas que columnas).
• Horizontal: Si M < N (más columnas que filas).

Vector Fila o Vector Columna

Es una matriz que tiene una sola fila o una sola columna, respectivamente.

Elementos y Notación Matricial

El elemento es cada uno de los números o funciones que componen la... Continuar leyendo "Fundamentos de Matrices y Álgebra Lineal: Conceptos, Tipos y Operaciones Esenciales" »

Introducció a Excel i el full de càlcul

Excel és un gestor de fulls de càlcul. Un document inicial d'Excel és una llibreta de càlcul: tenim tres fulls de càlcul actius. Un full de càlcul consta de 65.536 files x 256 columnes. El contingut d'una cel·la pot ser text, dates i hores, nombres en diferents formats, fórmules i funcions.

El desplaçament dins el full de càlcul es pot realitzar des del teclat: fletxes, AvPàg, RePàg, Ctrl+Inici, Ctrl+Fi, Fi+fletxa. L'accés al menú Format/Cel·les ens permet accedir a la majoria de les modificacions que voldrem efectuar sobre les cel·les.

Tipus de dades i formats

Text: qualsevol entrada que Excel no reconeix com a nombre o fórmula. Si barregem text amb nombres, la cel·la adoptarà el format... Continuar leyendo "Guia bàsica d'Excel: Funcions, Formats i Errors" »

Equilibri del mercat

Qs=Qd. En aquesta empresa el preu d'equilibri és de x€, això vol dir que en aquest punt coincideixen la quantitat demandada i la quantitat ofertada.

Maximització de beneficis

CMg=IMg (P). La quantitat amb la qual l'empresa obtindrà els màxims beneficis serà produint x u.

Quins beneficis

BT=IT(P·Q)-CT(CF+CV). (+)En aquest punt l'empresa obtindrà un benefici de x€. (-)En aquest punt l'empresa farà fallida ja que el resultat obtingut és negatiu.

Representa punt equilibri

dos taules de valors amb el preu i dos valors.

Representa maximització beneficis

IMg(P) constant.

Representa maximització beneficis

CMg: Fórmula vèrtex= -b entre 2·a --- el resultat el substitueixes per la Q de la funció de CMg, (vertex, resultat... Continuar leyendo "Anàlisi de mercat i beneficis en l'empresa" »

Si a és un nombre real,

+ a = ∞

· a = ∞

+ ∞ = ∞

· ∞ = ∞

elevat a +∞ = a elevat a +∞ = 0 (-1 < a < 1). a elevat a menys ∞ = 1/a elevat a +∞

Tipus d'indeterminació.