Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Anaximandre de Milet

Discipul directe de Tales, Anaximandre va tenir una vista global de la seva temàtica. El món està construït segons proporcions matemàtiques i l'univers té forma esférica. El centre és la Terra i els planetes giren al voltant d'ella. Intentava donar solucions a través de la natura i les observacions. La seva única obra coneguda es deia "Sobre la naturalesa".

La seva concepció de l'arkhé

Per Anaximandre, l'arkhé que governa tot l'anomena APEIRON. L'APEIRON és allò il·limitat que no té límits tant interiors com exteriors.

Conflictes i oposicions

Al món, les coses apareixen alimentades per conflictes contraris. No té ni principi ni final. Aquest món està format per aquests contraris i conflictes, com el FRIÓ... Continuar leyendo "Anaximandre de Milet: Filòsof i la seva Visió de l'Univers" »

Components d’una Unitat Didàctica

1. Introducció: Presentació del contingut principal de la Unitat Didàctica (UD), motivació i curs al que va dirigit.
2. Graella de cada racó amb: Descripció del racó, continguts matemàtics, objectius d’aprenentatge i criteris d’avaluació, organització social, temporització, materials i recursos de cada racó.
3. Avaluació i instruments d’avaluació.
4. Atenció a la diversitat.

*Els punts 3 i 4 es poden incloure a la descripció de cada sessió.

Proporcionalitat i Semblança

Semblança de Polígons

Dues figures poligonals són semblants quan tenen tots els costats homòlegs proporcionals i tots els angles homòlegs són iguals. La raó de semblança (K) és el nombre pel qual multipliquem tots els costats... Continuar leyendo "Guia Didàctica: Fraccions i Proporcionalitat" »

Método del paralelogramo

• a) Se traza una línea horizontal y se dibujan los vectores partiendo del mismo punto, eligiendo una escala apropiada.
• b) Se traza en la punta de cada vector una línea paralela al otro vector, formando un paralelogramo.
• c) Se une el origen de los vectores con el cruce de las líneas paralelas; esta línea es el vector suma o vector resultante.
• d) Según la escala de la magnitud, se mide con el transportador.

Es un espejo.

Método del polígono

• a) Se trazan todos los vectores que se van a sumar partiendo de un mismo punto con escalas adecuadas.
• b) En la punta de cada uno de los vectores, elegido arbitrariamente, se traza cualquiera de los otros y así sucesivamente en un patrón donde acabas, inicias el que sigue.
• c) Se traza

Vectores en R³

Un vector en R³ es un conjunto ordenado de tres números reales, denotado de la siguiente manera: v = (x, y, z).

Componentes de un Vector

Para hallar los componentes de un vector en R³, se deben restar las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Módulo de un Vector

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

Cálculo de los Cosenos Directores y Vectores Ortogonales

Cosenos Directores

Se llaman cosenos directores de un vector a los cosenos de los ángulos que forma dicho vector con los ejes coordenados positivos.

Vectores Ortogonales

Dos o más vectores son ortogonales cuando su producto escalar es igual a cero.

Ángulo entre los Vectores

Operaciones con Matrices

Matrices: Son números... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Vectores en R³ y Matrices" »

Tabla de Derivadas: Simples y Compuestas

Reglas Adicionales

• Regla de la cadena: (g ∘ f)'(x) = g'(f(x)) · f'(x)
• Producto de una constante por una función: (k · f)'(x) = k · f'(x)

Geometría de la Función

• Recta Tangente: y - y₀ = f'(x₀) · (x - x₀)
• Recta

Reducción de vectores deslizantes:

Centro de reducción de sistema;
Es reducir un sistema a un único vector con un punto de aplicación.

1. Resultante; es un sistema de vectores concurrentes se reduce un vector único

2. Un sistema de vectores coplanarios  puede reducirse a una resultante general, , aplicada en un punto G del plano y un momento  perpendicular al plano.

Si, el sistema es equivalente a un vector único.

Si, el sistema se reduce a cero si  y es equivalente a un par sí

3. Un sistema de vectores paralelos a una recta R

Si, el sistema se reduce un vector único paralelo a R

Si,  la reducción es un par provocando que el sistema sea equivalente a cero.

El punto G dónde está aplicada la resultante se obtiene:

;  por pertenecer 0... Continuar leyendo "Sistema de vectores concurrentes" »

Vectors:

Mòdul:

Vectors equipolents: Aquells que tenen les mateixes components cartesianes; AB (2,-5) i CD (2,-5).

De coordenades polars a components cartesianes:

Vector unitari:

Producte escalar:

Vectors perpendiculars: Canviar el signe d'una de les components d'un dels vectors.

Rectes:

Equació vectorial:

Equacions paramètriques:

Equació contínua de la recta:

Equació general:

Vector director de la recta: s (-b,a).

Equació explícita:

On m (pendent) i n (ordenada a l'origen).

Equació canònica:

Determinació de rectes:

Paral·lelisme:

1. Obtenir el vector director o pendent de la recta origen.
2. Obligar a la nova equació a que passi pel nou punt.

Distàncies:

• Entre dos punts: Buscar el vector que els uneix i calcular-ne el mòdul.
• Entre un punt i una recta:

Politikoak:

- Arazo globalak: klima aldaketa (kutsadura industriek), terrorismo, Frantzia krisia.

- Eragile globalak: Europar Batasuna, Nazio Batuen Erakundea, Gobernuz Kanpoko Erakundea.

Ekonomia:

- Mundu mailan esplotazio hazkundea, produktuen garraioak, multinazional hazkundea, nazioen arteko merkataritza liberazioa (mugak desagertu dira).

Kulturala:

- Hizkuntza (ingelesa), musica, zinema, telebista...

SENTITU, PENTSATU, EKIN.

Sentitu: lehengo bihotzean sentitzen dugu.

Pentsatu: gero pentsatzeen dugu laguntza edo ez.

Ekin: eta azkenik egiten dugu.

Globalean pentsatu eta Lokalean ekin egitea ikasi behar dugu.

Garapena:

Herralde zenbateraino garatua dagoen neurtzeko modua, ekonomikoki neurtzen da.

Càlcul vector a partir de dos punts: AB = B - A = (b₁ - a₁, b₂ - a_2>) --> (v₁, v_2>)

Mòdul d'un vector (distància que hi ha entre els dos punts) v = (v1)² + (v2)²

Dos vectors són de la mateixa direcció si tenen el mateix angle angle = arctan(v₂ / v₁)

Vectors equipolents: mateixa direcció, mòdul i sentit (són paral·lels)

Vector unitari: el seu mòdul és 1 --> calcular el mòdul i dividir-lo per cada nombre

Suma i resta de vectors: a + b = (ax + bx, ay + by) a - b = (ax - bx, ay - by)

Multiplicació d'un vector per un nombre real k k · (ax, ay) = (kax, kay)

Combinació lineal de vectors --> w = k · u + h · v

Producte escalar entre dos vectors: u · v = xu · xv + yu · yv o u · v = u · v · cos(x)

Cos(x) = u · v / u · v