Propiedades de Determinantes, Rango y Operaciones con Matrices

Propiedades de los determinantes

• El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.
• Si en una matriz cuadrada intercambiamos dos de sus filas o columnas, su determinante cambia de signo.
• Si en una matriz cuadrada multiplicamos por un mismo número todos los elementos de una misma fila o columna, su determinante queda multiplicado por ese número.
• Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna de ceros, su determinante es cero.
• Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante es cero.
• Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales, su determinante es cero.
• El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes.

9. Determina el menor complementario de A21

a) A= A= menor complementario -> 12

b) B= menor complementario -> 10 = 10

15. Calcula el rango de estas matrices

a) A= = 24-12-12 = 0

= 0+4=4. Rango=2 (de 3x3 si da cero, probamos de 2x2 y si vuelve a dar cero es de rango 1, sino da cero ya sabemos el rango! (2))

= 0· -1· -1 + 1· 0 · 4 + -1· -4 · 2 - (-1) · -1· 4 · -1· -4 · -1- 0 · 0·2=0

= 0 · -1 · 6 + 1·2· 4 + 0 · -4·2 - 0 · -1 · 4-1· - 4 · 6 - 0·2·2= 32. Rango=3

26. Calcula el valor del determinante de la matriz A+B

Siendo:

A+B =

--> -2·1· -2 +-1· -2 · 3+1·2·1-1·1·3 - (-1)·2· -2 - (-2) · -2·1 = ....

Matriz traspuesta: Propiedades

• La traspuesta de la matriz traspuesta es la matriz original:
• La traspuesta de la suma de dos matrices es la suma de las matrices traspuestas:
• Como el producto de matrices no es conmutativo, al trasponer un producto hay que cambiar el orden de las matrices:

Suma de matrices

Propiedades: conmutativa, asociativa, elemento neutro (A+0=A), elemento opuesto (A+(-A)=0).

• Para que dos matrices se puedan sumar deben tener la misma dimensión.
• Para restar dos matrices sumamos a la primera la opuesta de la segunda: A-B=A+(-B).

Producto de matrices por números

Se realiza elemento a elemento. Propiedades:

• Distributiva del producto de un número por una suma de matrices: a(A+B)=aA+aB
• Distributiva del producto de una suma de números por una matriz: (a+b)A= aA+bA

Rango de una matriz

Es el número de filas o columnas linealmente independientes en una matriz. El rango de una matriz es el mismo rango que el de su traspuesta.