Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Métodos de Optimización Numérica

Método del Gradiente Descendente

Proporciona una buena dirección de descenso inicial, pero puede presentar baja convergencia cerca del óptimo. Su velocidad de convergencia es típicamente lineal (considerada lenta).

Método de Newton

Ofrece buena convergencia cerca de la solución, pero no garantiza la orientación hacia un mínimo (puede converger a máximos o puntos silla si no se toman precauciones). Su velocidad de convergencia es cuadrática (considerada rápida) bajo ciertas condiciones.

Conceptos Clave en Optimización

Moverse en la dirección del descenso dada por el negativo del gradiente (-∇f) es la mejor opción localmente (marginalmente), pero esto no determina la rapidez global de convergencia,... Continuar leyendo "Conceptos y Métodos Fundamentales de Optimización Matemática" »

Sistemes de Numeració Additius

Els sistemes additius són aquells que acumulen els símbols de totes les unitats, desenes, etc., que siguin necessaris, fins a completar el nombre. Una de les seves característiques és, per tant, que es poden posar els símbols en qualsevol ordre, encara que, en general, és preferible una disposició determinada. Com ja s’ha comentat, les dificultats de representar nombres grans, i les complicacions que hi havia a l’hora d’operar, van fer que no prosperés.

Cada xifra té un valor propi intrínsec, que no depèn del lloc que ocupa. Es diu additiu perquè, per tal de representar un nombre, s'ha de fer intrínsecament una addició.

Exemple: El Sistema Jeroglífic Egipci

Per exemple, considerem el sistema... Continuar leyendo "Sistemes de Numeració, Nombres i Metodologia Docent" »

La Premsa Després de la Segona Guerra Mundial

La guerra havia afavorit els progressos de la ràdio. La postguerra va veure com la televisió ocupava un lloc cada vegada més important en la vida dels lectors de la premsa. Els periòdics es van haver d’adaptar a uns nous competidors que reduïen els temps de lectura dels lectors de premsa, anunciaven les notícies abans que els periòdics, despertaven noves curiositats en la ciutadania i compartien amb els periòdics els ingressos publicitaris. La premsa havia perdut el monopoli de la informació.

El periodisme escrit, convertit ja en complement del periodisme parlat i televisat, es va orientar cap al comentari de l’actualitat –això explicaria els progressos de la premsa de qualitat–,... Continuar leyendo "La Premsa Postguerra: Adaptació i Evolució dels Mitjans de Comunicació" »

Cálculo de Intersección de Carreteras y Altura de Pilar

Datos iniciales: Puntos A, B, C, D; pendiente m1; abscisa del vértice del acuerdo Xv; parámetro de la parábola Kv.

1. Intersección de las rectas AB y CD (Punto I):
   • Se resuelve el sistema de ecuaciones de las rectas para obtener las coordenadas (x, y) de la intersección I.
   • Recta AB: y - ya = (ΔY_ab / ΔX_ab) * (x - xa)
   • Recta CD: y - yc = (ΔY_cd / ΔX_cd) * (x - xc)
2. Distancia AI:
   • Se calcula la distancia euclidiana: D = √(ΔX² + ΔY²)
   • Nota: Se indica que la intersección estará en el acuerdo vertical a la izquierda del vértice V (primera rasante), dado que Xv = 185.
3. Cálculo de la Coordenada Y del Vértice V (Yv):
   • Se utiliza la ecuación de la recta AV, conociendo las coordenadas de A,

Problemas de Probabilidad

Problema 1: Probabilidad de Elementos Defectuosos

Una máquina A produce la mitad de la producción, y una máquina B produce la tercera parte. Las averías de las máquinas (elementos defectuosos) son 5%, 8% y 10% respectivamente. Hay una máquina C.

Datos:

• Máquina A: P(A) = 1/2, P(Defectuoso | A) = 5% = 0.05
• Máquina B: P(B) = 1/3, P(Defectuoso | B) = 8% = 0.08
• Máquina C: P(C) = 1 - 1/2 - 1/3 = 1/6, P(Defectuoso | C) = 10% = 0.10

1. Si se toma un elemento al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esté averiado?

Aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total:

P(Defectuoso) = P(Defectuoso | A) * P(A) + P(Defectuoso | B) * P(B) + P(Defectuoso | C) * P(C)

P(Defectuoso) = (0.05 * 1/2) + (0.08 * 1/3) + (0.10 * 1/6)

P(Defectuoso)... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Probabilidad, Estadística y Geometría Matemática" »

Valores Críticos

Si f'(Xo)=0 → Xo Valor crítico estacionario. Si f'(Xo)=ε → Xo Valor crítico singular.

Ejemplos de Cálculo de Valores Críticos

a) f(x)= x² (1-x)² Df= R (-∞, +∞)

f'(x)= 2x (1-x)² + x² . 2 (1-x) . (-1) → f'(x)= 2x (1-x)² -2x² (1-x)

f'(x)= 2x(1-x) [1-x-x] FC. → f'(x)= 2x(1-x)(1-2x)

Valores críticos estacionarios 2x(1-x)(1-2x)=0

2x=0 X=0 ∈ Df 1-x=0 X=1 ∈ Df 1-2x=0 X=1/2 ∈ Df

b) F(x)=X √8-x Df (-∞, 8]

8-x≥0 8≥x x≤8

f(x)= X(8-x)^1/2 f'(x)= (8-x) ^1/2 + x . 1/2(8-x)^-1/2 (-1)

f'(x)= √8-x = X f'(x)= (2(√8-x)² -x) / (2√8-x) f'(x)= (16-2x-x) / (2√8-x) f'(x)= (16-3x) / (2√8-x)

VC Estacionarios (16-3x) / (2√8-x) =0 16-3x=0 x=16/3 ≈5,33 ∈ Df VCE

VC Singular. 2√8-x =0 (√8-x)²=(0)² 8-x=0 X=8 ∈ Df VCS

Extremos

Intervalos

Dados los números reales a y b, siendo a < b, llamaremos intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre a y b. Estos se denominan extremos del intervalo: a es el extremo izquierdo o inferior y b el extremo derecho o superior.

• Intervalo cerrado: es aquel que contiene a sus extremos. Ejemplo: [a, b].
• Intervalo abierto: es aquel que no contiene a sus extremos.

Diferencial e incremento de una función

El concepto de diferencial surge del concepto de derivada. Supongamos que una función y = f(x) tiene una derivada en un intervalo [a, b]. En un punto cualquiera del mismo, su derivada se calcula mediante la expresión:

Lim_x→0 ∆y/∆x = f'(x) (sabiendo que f'(x) en un punto es un número real).

Es decir, entonces cuando el... Continuar leyendo "Conceptos fundamentales de cálculo: intervalos, diferenciales, extremos y funciones crecientes y decrecientes" »

i) Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente.

ii) Toda sucesión de números reales monótona y no acotada es divergente.

Demostración

i) Supongamos que {xn} es una sucesión de números reales creciente y mayorada y sea x = sup {xn : n ∈ N} . Dado ε ∈ R⁺, existe m ∈ N tal que xm > x-ε . Consideremos un natural n tal que n ≥ m. Entonces, x ≥ xn ≥ xm y por tanto |xn - x| = x - xn ≤ x - xm < ε. Se prueba así que {xn} converge a x.

De forma análoga se demuestra que si {xn} es una sucesión de números reales decreciente y minorada entonces {xn} es convergente con lim xn = inf {xn : n ∈ N} .

Esto concluye la demostración del primer apartado pues cualquier sucesión monótona y acotada se encuentra... Continuar leyendo "Convergencia de Sucesiones Reales y Complejas: Teoremas y Demostraciones" »