Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Espacio Vectorial: Definición y Propiedades

Un espacio vectorial es un conjunto con una operación interna que cumple las propiedades conmutativa, asociativa, existencia de elemento neutro y existencia de vector simétrico, y con una operación externa que verifica las propiedades de asociatividad, distributividad 1 y 2, y existencia de elemento unidad.

Conceptos Fundamentales

• La dimensión del espacio Rⁿ es n.
• Los elementos de Rⁿ reciben el nombre de vectores.

Operaciones y Compatibilidad

• Inversa de una matriz: A^-1 = 1/|A| · A*
• Combinación lineal: La matriz (A|b) (matriz ampliada) debe tener el mismo rango que A. Ejemplo: Si Rang(A)=2, Rang(A|b)=2, entonces el determinante de orden 3 debe ser nulo.

Sistemas de Ecuaciones

• Sistema Incompatible: No

Algorismes de Multiplicació: Cas 54x23

Per exemple, per calcular 54x23, i per tal d’arribar a l’expressió estàndard de l’algorisme, es poden utilitzar les expressions següents, que converteixen una multiplicació que no saben fer en dues multiplicacions que sí que saben fer:

Mètode Horitzontal

54x23 = 54x[(2x10+3)] = [54x(2x10)]+[54x3] = [(54x2)x10]+[54x3] = [108x10]+162 = 1.080+162 = 1.242

Expressió Vertical Inicial

(Dibuix de l'operació vertical inicial)

Una vegada queda clar el desenvolupament inicial de l’operació, es traslladen els resultats parcials, començant a operar per la xifra de les unitats, a una disposició vertical més pròxima a l’expressió estàndard de l’algorisme, l’expressió intermèdia, en la qual es... Continuar leyendo "Algorismes Matemàtics i Resolució de Problemes: Guia Completa" »

Derivadas: Conceptos Fundamentales y Aplicaciones

El concepto de derivadas de una función en un punto es uno de los temas más importantes del cálculo diferencial y el análisis matemático. Su relevancia radica en sus vastas aplicaciones en diversas disciplinas, como por ejemplo en física, para el cálculo de la velocidad instantánea, la aceleración instantánea, entre otros fenómenos.

Incrementos: Absolutos, Medios y Relativos

Consideremos la función y = f(x), representada en la siguiente figura:

Podemos observar en la figura los siguientes elementos:

• ab = f(x) (función sin incrementar)
• ce = f(x+Δx) (función incrementada)
• de = Δy (incremento en y)
• bd = Δx (incremento en x)

A medida que asignamos a x diferentes valores, se irán obteniendo... Continuar leyendo "Derivadas: Fundamentos, Incrementos y Cálculo Paso a Paso" »

Errores en Diagramas de Bode

El error en estado estacionario en diagramas de Bode se determina de la siguiente manera:

• Error de posición (Kp): Se obtiene del valor del primer segmento horizontal del diagrama de magnitud. Si este valor es 20log(Kp), entonces Kp es el error de posición. Matemáticamente: lim_(w→0) G(jw)H(jw) = Kp
• Errores de velocidad (Kv) y aceleración (Ka): Se calculan encontrando la intersección de la recta w=1 con el segmento inicial del diagrama de magnitud (que tiene una pendiente de -20 dB/década o -40 dB/década). El valor en esta intersección es 20log(Kv) o 20log(Ka), respectivamente.

Conceptos en el Dominio de la Frecuencia

• Ganancia en Corriente Continua (Gcc): Es el valor de la magnitud de la función de transferencia

Heterocedasticidad en Modelos de Regresión

Cuando se incumple el supuesto de homocedasticidad, la varianza no es constante y varía con la observación (E[u_t²] = δ²_t, ∀t).

El modelo de regresión lineal se define como:

y_nx1 = X_nxk . β_kx1 + u_nx1

tal que E[u_t] = 0_nx1 y Var(u) = δ².Ω_nxn, donde Ω es una matriz diagonal con diagonal no constante. En este caso, se dice que el modelo tiene una matriz de varianza-covarianza no escalar o con perturbaciones no esféricas. Este fenómeno aparece con datos de sección cruzada.

Causas de la Heterocedasticidad

• Naturaleza del fenómeno (se da en datos de sección transversal o cruzada).
• Uso de datos agregados (cuando las observaciones de la variable dependiente pueden dividirse en grupos).
• Omisión de una

Introducción

Una cantidad determinada de Z no es accesible mediante una medida directa, sino que ha de obtenerse indirectamente mediante una ecuación de tipo: t = t(xi, cj), donde i = 1, 2, ..n y j = 1, 2, ..n. Utilizamos t, ya que estamos desarrollando el ejercicio con el ejemplo de la raíz, pero podría utilizar cualquier variable.

Determinación del Valor de t

Determinamos el valor de t, conocidos los errores en la determinación de las variables xi de los parámetros cj. Para ello, se utiliza la expresión de la propagación lineal de los errores:

• dt = Σ(dt/dxi) + Σ(dt/dcj)

POTENCIAL DE MAREAS

El potencial de mareas se expresa como:

• ψ ≈ G.(C/R)²(cos2θ + 1/3);
• G = 3/4KM. r²/c³

Este potencial explica entre el 90-95% del potencial total... Continuar leyendo "Entendiendo el Potencial de Mareas y su Impacto en la Geodesia" »

Costes Estándares: Cálculo y Desviaciones

1. Definiciones y Fórmulas Clave

• ET Taller (Eficiencia Técnica del Taller): AN_uo / AN_up
  • AN_uo: Actividad Normal en unidades de obra.
  • AN_up: Actividad Normal en unidades de producto.
• EE Taller (Eficiencia Económica del Taller) (CC por u/o): CV por u/o + (Ppto CF / AN_uo)
  • CV por u/o: Coste Variable por unidad de obra.
  • Ppto CF: Presupuesto de Costes Fijos.
• Ficha CE (Coste Estándar):
  ET x EE = CE
  Se aplica a: Materias Primas (MP), Mano de Obra Directa (MOD) y Taller.

2. Cargas Directas e Indirectas

(Esta sección no requiere contenido específico, pero se mantiene como encabezado para estructura)

• Cargas directas
• Cargas indirectas

3. Desviación Técnica y Económica

• DT (Desviación Técnica): (Q_S - Q_R) * P_S
  • Q_S: Cantidad

1) de un naipe ingles de 52 cartas se extrae una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que resulte 8 o de trébol?

P (A ó B) = P (AUB) = P (A) + P (B) - P (A^B)

=  +  -  =

2) se elige al azar un número entero entre los 30 primeros enteros positivos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea primo o múltiplo de 5?

P (primo o múltiplo de 5) =  +  -  =  =

3) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 dados, no se obtenga una suma igual a 10?

(5,5)(6,4)(5,5) y 6*6=36 =

P(A°C) = 1- P(A)= 1- =           -  =  =

4) en una empresa trabajan hombres y mujeres, además se sabe que un 15% de los empleados se han perfeccionado en el extranjero. Si el 35% de las personas son mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Probabilidad y Estadística" »

Cuando la empresa elige simultáneamente las cantidades de dos o más **factores variables**, el problema de contratación es más difícil, ya que una variación del precio de uno de ellos altera la demanda de otros. Supongamos, por ejemplo, que tanto el trabajo como la maquinaria de la cadena de montaje son factores variables para producir maquinaria agrícola. Imaginemos que deseamos averiguar la **curva de demanda de trabajo** de la empresa. Cuando baja el salario, se demanda más trabajo aunque no varíe la inversión de la empresa en maquinaria. Pero a medida que se abarata el trabajo, el **coste marginal** de producir la maquinaria agrícola disminuye. Resulta rentable, pues, para la empresa aumentar su producción. En ese caso, es probable... Continuar leyendo "Optimización de la Contratación de Factores Variables en la Producción" »

Teorema 1.18 (Principio de la buena ordenación de los naturales)

Todo subconjunto no vacío de N tiene mínimo.

Demostración

Sea A un subconjunto no vacío de N. Si 1 &in; A es claro que 1 = min A. Suponemos entonces que 1 ∉ A y consideremos el siguiente conjunto B = {n &in; N : n < 1}. Si B fuese inductivo, coincidiría con N, en particular, contendría al propio conjunto A. Entonces, cada elemento de A es estrictamente menor que sí mismo. Puesto que esto no puede ocurrir, el conjunto B no es inductivo. Es claro que 1 &in; B. Entonces existe n &in; B tal que n + 1 &in; B. De ello se deduce, por una parte, que n < n + 1, y por otra, existe x &in; A tal que x = n + 1. La primera condición implica que n + 1 >... Continuar leyendo "Teoremas Fundamentales de Análisis Matemático: Convergencia y Funciones Exponenciales" »