Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Fundamentos de Estadística: Momentos y Media Aritmética

Momentos: Valores que resumen información de una distribución de frecuencias en relación con algún aspecto o propiedad. La media aritmética y la varianza son casos particulares.

Media aritmética: Es la suma de los datos ponderados por las frecuencias relativas. Es sensible a los errores.

Propiedades de la media aritmética:

• 1. La media de las desviaciones respecto a la media es nula.
• 2. Agrupación.
• 3. Traslación y cambio de escala.

Medidas de Dispersión

Medidas de dispersión: Sintetizan en un único valor la variabilidad de los datos.

3.1 Recorridos y Desviación Media

Recorrido o rango: Es la diferencia entre los valores extremos de la variable. En intervalos de clase, se utiliza el... Continuar leyendo "Conceptos Esenciales de Estadística: Medidas Descriptivas, Forma, Concentración y Relaciones Bivariadas" »

Distancia en el Modelo de Correspondencias

• Los perfiles de fila y columna se convierten en las coordenadas que permiten ubicar las categorías de las variables. Según estas posiciones, se calcula la distancia entre ellas.
• Para calcular la distancia, se debe, en primer lugar, calcular el centroide de la nube de puntos generada a partir de la ubicación de las categorías de las variables según las tablas de frecuencias relativas. El centroide puede ser entendido como la media de la nube de puntos.

Inercia en Modelos Estadísticos

• En el análisis de correspondencias, la dispersión de los puntos se denomina inercia.
• La inercia total corresponde a la dispersión del conjunto de puntos con respecto a su centroide.
• Los ejes que constituirán las coordenadas

Teorema de Carnot

Estudia los ciclos reversibles formados por dos isotermas y dos isentrópicas (procesos reversibles y adiabáticos). Los parámetros involucrados son: temperatura del foco frío (T_f), temperatura del foco caliente (T_c), calor absorbido (Q₁), calor cedido (Q₂) y trabajo neto (W).

Ecuaciones fundamentales:

• Para un ciclo completo: ΔU = Q - W = 0, por lo tanto W = Q = Q₁ + Q₂ (considerando Q₂ negativo si es cedido).
• Variación de entropía en el ciclo: ΔS = 0, lo que implica |Q₁|/T_c = |Q₂|/T_f.

Nota: Para evitar confusiones con los signos de Q y W, se pueden usar valores absolutos en las relaciones de calores y temperaturas, y luego asignar el signo según si la energía es aportada o cedida por el sistema.

Dado que hay 5 parámetros... Continuar leyendo "Principios Fundamentales de Termodinámica, Calorimetría y Campo Eléctrico" »

Números Reales y Proporciones

Los números reales se corresponden con los puntos de una recta, fijados en un origen (0) y una unidad de medida (1). Permiten describir el universo físico y el espacio geométrico. El conjunto de todos los números reales se denota como R.

Z representa el conjunto de todos los números enteros sin decimales. Q es el conjunto de los números racionales, que son el cociente de dos números enteros (m/n, donde n ≠ 0). Los números reales no enteros son los números racionales.

Los números irracionales tienen una expresión decimal no periódica y son números reales pero no racionales (ej: π). Aparecen cuando la raíz cuadrada de un número no es un cuadrado perfecto.

Proporciones

La proporción entre dos números... Continuar leyendo "Exploración de Números Reales, Espacios Vectoriales y Geometría Analítica" »

Modelos Dinámicos y Regresores Estocásticos

1) Simultaneidad

Conceptos Fundamentales de Estadística

Estadística: Ciencia que se ocupa de la **recogida**, **presentación**, **descripción** y **análisis** de datos, lo que nos ayuda en la **toma de decisiones** en un contexto de **incertidumbre**.

Probabilidad: Parte de la estadística que se ocupa de calcular un número entre el **0** y el **1** que nos informa sobre el **grado de ocurrencia** de un **suceso**.

Inferencia Estadística: Parte de la estadística que, utilizando la información de una **muestra**, nos permite obtener **conclusiones** para toda una **población** con un determinado **grado de fiabilidad**.

Variables Estadísticas

Variable Estadística: Es lo que se desea estudiar. Se suele representar por *X* o *X_i*. Existen diversas clasificaciones:... Continuar leyendo "Glosario Esencial de Terminología Estadística" »

Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Distribuciones Estadísticas

Definición Axiomática de Probabilidad

Es la más simple de todas las definiciones; está basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mínimos para definir la probabilidad de un suceso.

Ventaja:

• Permite un desarrollo riguroso y matemático de la probabilidad.

Axiomas (Causas):

1. La probabilidad de cualquier suceso A es no negativa: P(A) ≥ 0.
2. La probabilidad del espacio muestral (suceso seguro Ω) es 1: P(Ω) = 1.
3. Si A, B, C, ... son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles), la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades individuales: P(A ∪ B ∪ C ∪ ...) = P(A) + P(B) + P(C) + ...

Consecuencias Importantes:

• La probabilidad del suceso imposible

Introducción al Diagrama de Bode

El Diagrama de Bode es una representación gráfica fundamental que nos permite determinar la estabilidad de un sistema mediante la caracterización de su respuesta en frecuencia. Consta de dos gráficas separadas:

• La Gráfica de Magnitud (o Diagrama de Amplitud), que representa el módulo de la función de transferencia en decibelios (dB) en función de la frecuencia angular (ω) en escala logarítmica.
• El Diagrama de Fase, que representa el ángulo de la función de transferencia en grados en función de la frecuencia angular (ω) en escala logarítmica.

Fórmulas Clave

Para comprender el Diagrama de Bode, es esencial conocer las siguientes expresiones:

• Módulo de la Función de Transferencia:
  M(ω) = |G(jω)| =

El Modelo de Regresión Lineal Simple

El modelo que estudiamos es el siguiente:

Yᵢ = α + βXᵢ + Uᵢ

Donde los componentes son:

• Yᵢ: Variable dependiente (la variable que se busca explicar o predecir).
• Xᵢ: Variable independiente (la variable que se utiliza para explicar Yᵢ).
• α: Intercepto o término constante poblacional. Representa el valor esperado de Y cuando X es cero.
• β: Pendiente poblacional. Mide el cambio esperado en Y por cada unidad de cambio en X.
• Uᵢ: Término de error estocástico poblacional. Recoge todos los factores distintos de X que afectan a Y, así como errores de medida.

Es importante distinguir entre los parámetros poblacionales y los estimadores muestrales:

• α y β son los parámetros poblacionales (valores fijos