Condiciones de Kuhn-Tucker y función lagrangiana en programación no lineal

Q: ¿Qué son los multiplicadores de Kuhn y Tucker?

Son las nuevas variables que se añaden en la función lagrangiana, una por cada restricción del problema. Se suman a la función objetivo multiplicados por cada restricción.

Q: ¿Qué significa que una solución factible sea regular?

Una solución factible es regular si es una solución de interior, o si es frontera y los gradientes de las restricciones saturadas forman un sistema de vectores linealmente independientes.

Q: ¿Cuáles son los pasos para resolver un problema de programación no lineal?

Primero se comprueban las condiciones necesarias de optimalidad y se expresa el problema en forma canónica. Después se construye la lagrangiana, se calculan los puntos de Kuhn y Tucker y, por último, se comprueban las condiciones suficientes de optimalidad.

Resumen

El texto explica la programación no lineal, donde la función objetivo o alguna restricción no es lineal, y define las soluciones factibles regulares. Presenta las condiciones de Kuhn y Tucker como punto de partida para hallar el óptimo global, junto con los pasos para resolver un problema y la construcción de la función lagrangiana. También recoge las condiciones suficientes de optimalidad para máximos y mínimos globales.

Puntos clave

En programación no lineal, la función objetivo o alguna restricción es no lineal.
Una solución factible es regular si es de interior o si, en la frontera, los gradientes de las restricciones saturadas son linealmente independientes.
La función lagrangiana suma a la función objetivo un término lambda por cada restricción, siendo lambda los multiplicadores de Kuhn y Tucker.
Las condiciones de Kuhn y Tucker son factibilidad, punto crítico, signo de los multiplicadores y holgura complementaria.
Los puntos de Kuhn y Tucker son candidatos a óptimo global y deben verificar después las condiciones suficientes.
Si la función objetivo es cóncava (en máximos) y el conjunto factible es convexo, todo punto de Kuhn y Tucker es máximo global.

Ponte a prueba

Programación no lineal ( cuando la función objetivo o alguna restricción es no lineal). Tienen infinitas soluciones factibles de entre las cuales hay que encontrar la solución óptima. Todas las restricciones son lineales, todas las soluciones factibles del problema son regulares.

Una solución factible regular: es regular si verifica alguna de las siguientes condiciones: 1. Es una solución de interior. 2. Es una solución frontera y los gradientes de las restricciones saturadas en este punto forman un sistema de vectores linealmente independientes.

Las condiciones de Kuhn y Tucker son el punto de partida para alcanzar el óptimo global de un problema de programación no lineal. Los puntos que satisfacen estas condiciones son los candidatos a óptimos globales, pero para que lo sean efectivamente, se requerirá un análisis posterior de las condiciones de suficiencia.

Pasos a seguir para resolver un problema de programación no lineal: 1. Comprobar que se cumplan las condiciones necesarias de optimalidad. 2. Expresar el problema en forma canónica. 3. Construir la función Lagrangiana. 4. Calcular los puntos de Kuhn y Tucker. 5. Comprobar que se verifiquen las condiciones suficientes de optimalidad.

La función lagrangiana L es una función cuyas variables son las variables principales del problema más una nueva variable por cada restricción. Estas nuevas variables se conocen como multiplicadores de Kuhn y Tucker. La función L se obtiene sumando a la función objetivo un término Lambda por cada restricción del problema.

Condiciones de Kuhn y Tucker: 1. Factibilidad: el punto x es una solución factible (satisface las restricciones del problema) 2. Punto crítico: las derivadas de la lagrangiana respecto a las variables principales son nulas en x. 3. Signo: lambda>:0 si está asociado a una restricción canónica: lambda <:0 si está asociado a una restricción canónica, lambda es libre si está asociado a una restricción de igualdad. 4. Holgura complementaria: si lambda es un multiplicador asociado a una restricción de desigualdad, entonces lambda(b-g(x))=0.

Si en un problema de porgramación no lineal, en el cual tanto la función objetivo como las restricciones son funciones de clase C2 y, además, se cumple una de las tres cualificaciones de restricciones, se encuentra un óptimo global, éste será un punto de Kuhn y Tucker.

Condiciones suficientes de optimalidad (max): sea un problema de programación no lineal, en el cual tanto la función objetivo como las restricciones son funciones de clase C2, el conjunto de oportunidades es convexo y, además, la función objetivo es cóncava, entonces todo punto de Kuhn y Tucker es máximo global. (min = convexo, convexa, min global).

Sea un problema de programación no lineal, en el cual tanto la función objetivo como las restricciones son funciones de clase C2, se verifica alguna cualificación de restricciones, se cumple el teorema de Weiertrass y hay un número finito de puntos de kuhn y tucker, entonces el mejor de los puntos de kuhn y tucker será el óptimo global (max o min).

Preguntas frecuentes

¿Qué son los multiplicadores de Kuhn y Tucker?

Son las nuevas variables que se añaden en la función lagrangiana, una por cada restricción del problema. Se suman a la función objetivo multiplicados por cada restricción.

¿Qué significa que una solución factible sea regular?

Una solución factible es regular si es una solución de interior, o si es frontera y los gradientes de las restricciones saturadas forman un sistema de vectores linealmente independientes.

¿Cuáles son los pasos para resolver un problema de programación no lineal?