Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Integrales Trigonométricas

Integrales Racionales de Funciones Trigonométricas: ∫R[sen(x), cos(x)] dx

• Caso 1: Impar en el seno. Si la función es impar respecto a sen(x) (es decir, R(-sen(x), cos(x)) = -R(sen(x), cos(x))), se realiza la sustitución: t = cos(x).
• Caso 2: Impar en el coseno. Si la función es impar respecto a cos(x) (es decir, R(sen(x), -cos(x)) = -R(sen(x), cos(x))), se realiza la sustitución: t = sen(x).
• Caso 3: Par en ambos. Si la función es par respecto a sen(x) y cos(x) (es decir, R(-sen(x), -cos(x)) = R(sen(x), cos(x))), se realiza la sustitución: t = tan(x). En este caso, dx = dt/(1+t²).
• Caso 4: Cambio General (Universal). Para cualquier función racional de sen(x) y cos(x), se puede utilizar la sustitución: t = tan(

TEOREMA Y FORMULA FUNDAMENTAL DEL Cálculo INTEGRAL

Teorema del valor medio integral: si una función f(x) es contínua en un intervalo[a,b]existe un punto intermedio CE (a,b) tal que f(c)= 1/b-a int^b_a f(x) dx. Teorema fundamental del cálculo: Si una función f(x) es continua en [a,b]entonces la función definida por f(x)=int^x_a f(t) dt es continua en (a,b) y Fc'x=f(x). Como consecuencia si conocemos una antiderivada g(x) de una función continua f(x) en el intervalo [a,b]. Es decir, si g'(x)=f(x) para todo XE[a,b]. Como cambien la función F(x)=int^x_a f(t) dt es otra antiderivada de f(x),se tiene que la derivada de la diferencia es cero para todo XE [a,b]; es decir: (F(x)-g(x))'=F'(x)-g'(x)=f(x)-f(x)=0. Debe ser una función cte para todo XE... Continuar leyendo "Cálculo Integral, Derivadas Vectoriales y Números Reales: Conceptos Fundamentales y Aplicaciones" »

Media Aritmética

Es una medida de centralización atendiendo al criterio del tamaño. Se define como el cociente de dividir la suma de todas las observaciones de la población (muestra) entre el tamaño de la misma.

Casos

1. Cuando cada observación x_i aparece una sola vez, es decir, todas las observaciones toman valores distintos, la expresión de la media es Σx_i/n.
2. Si cada observación x_i se repite f_i veces, la media toma la forma Σ(f_i.x_i)/n. Si la variable es cuantitativa discreta, x_i representa los valores que toma la variable y si es cuantitativa continua, representa la marca de clase. También se puede expresar la media aritmética en función de las frecuencias relativas Σ(h_i.x_i).

Mediana

Llamaremos mediana de una distribución de frecuencias... Continuar leyendo "Medidas de Centralización y Posición: Media, Mediana, Moda y Cuantiles" »

Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz

Principio del Método

Es un método algebraico que proporciona información sobre la estabilidad de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI). Para poder aplicarlo, la ecuación característica del sistema debe ser un polinomio con coeficientes reales y constantes. Una condición necesaria (pero no suficiente) para la estabilidad es que todos los coeficientes del polinomio sean diferentes de cero y tengan el mismo signo.

El criterio de Routh-Hurwitz está basado en la construcción de la tabla de Routh (o tabulación de Routh).

Una vez completada la tabla de Routh, se observan los coeficientes de la primera columna. La cantidad de cambios de signo entre los coeficientes de esta primera columna es... Continuar leyendo "Criterio de Routh-Hurwitz para la Estabilidad de Sistemas LTI" »

Fórmulas y Conceptos Clave de Estadística Descriptiva

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

Mediana (Me):

Me = L_i-1 + [(N/2 - F_i-1) / f_i] * a_i

Rango Relativo (Cr/k):

Cr/k = L_i-1 + [(r/k - F_i-1) / f_i] * a_i

Varianza (S²):

S² = Σ(x_i - μ_x)² * f_i

Desviación Estándar (S_x):

S_x = √S²_x

Moda (Mo):

Mo = L_i-1 + [(f_i / a_i - f_i-1 / a_i-1) / ((f_i / a_i - f_i-1 / a_i-1) + (f_i / a_i - f_i+1 / a_i+1))]

Coeficiente de Variación (CV)

CV = S_x / μ_x

• CV < 0.3: Baja dispersión. La media tiene alta representatividad.
• 0.3 < CV < 1: Media dispersión. Media representatividad de la media.
• CV > 1: Alta dispersión. La media tiene baja representatividad.

Coeficiente de Asimetría de Fisher

Coeficiente de Asimetría = Σ(x_i - μ_x)³ * f_i / (√[Σ(x_i - μ_x)² * f_i])³

• = 0:

Ikuspegi Kontserbadorea: Estatuaren Rola eta Merkatua

Korronte kontserbadorearen iritziz, gobernu-tresnek garapen izugarria izan dute, bereziki administrazio zentralaren kasuan, erakunde sozialen ahultzearekin batera; horien artean irabazi-asmorik gabeko erakunde pribatuak daudenean. Administrazio publikoak oso burokratizatuak, hierarkizatuak eta zentralizatuak izan daitezke, eginkizun sozialen ia monopolioa bereganatuz. Ondorioz, Ongizate Estatua askatasun indibidualerako mehatxu gisa agertzen da. Horrez gain, gatazka bat legoke gobernuaren eta erakunde pribatu batzuen artean, Estatuaren presentzia handiak, sentimendu komunitarioa gutxitzearekin batera, anomia areagotu baitu. Horren emaitza izan da, Estatua indarturik irteteaz gain, garatu... Continuar leyendo "Ongizate Estatua: Ikuspegi Kontserbadorea eta Sozialdemokrata" »

Series de Tiempo (Cuantitativos)

Promedio Simple

Se usa una regla simple que pronostica igual al último valor o igual más o menos algún porcentaje.

Promedios Móviles

El pronóstico es simplemente un promedio de los n más recientes.

Proyección de la Tendencia

El pronóstico es una proyección lineal, exponencial u otra de la tendencia pasada.

Asociativos (Cuantitativos o Causales)

Regresión y Correlación

Se usan una o más variables asociadas para pronosticar por medio de la ecuación de mínimos cuadrados (regresión) o de una asociación (correlación) con una variable explicativa.

Econométricos

Se usa una solución por ecuaciones simultáneas de regresión múltiple para una actividad económica.

Modelos Cualitativos

Como se puede ver en el cuadro... Continuar leyendo "Métodos de Pronóstico: Series de Tiempo y Modelos Cualitativos y Cuantitativos" »

Conceptos Fundamentales del Cálculo Diferencial

Derivada de una Función en un Punto

Sea una función continua en un intervalo I y sea a un punto interior a dicho intervalo. Definimos como derivada de f en el punto a, y denotada por f'(a), al límite del cociente incremental cuando x tiende a "a".

y'(a) = f'(a) = limx→a (f(x) - f(a)) / (x - a)

Función Derivada

Si la función f es derivable para todo x en un intervalo, entonces, asociando a cada x el número f'(x), se obtiene una función f' llamada función derivada de f.

Incrementos de la Variable y de la Función

Sea una función y=f(x) continua en un entorno del punto x=a. Si del valor "a" pasamos a una abscisa x, decimos que la variable ha experimentado un incremento que simbolizamos con Δx.... Continuar leyendo "Dominando Derivadas y Sistemas Lineales: Conceptos Clave de Cálculo y Álgebra" »

Definición y Conceptos Clave de la Integral

Una integral, en el contexto de una función real de variable real f: R -> R, posee un doble significado. Existen dos conceptos fundamentales de integral para una función f(x):

• Integral Indefinida: Es otra función F(x) cuya derivada es la función original, es decir, F'(x) = f(x), para cada punto en su dominio de definición. Se la puede denominar también antiderivada u operación inversa de la derivada. Si existe, se denota por: ∫ f(x)dx = F(x) + c, donde c es una constante arbitraria.
• Integral Definida: Se define en un intervalo [a, b] como un límite de sumas numéricas. Cuando este límite existe, el resultado es un número. Se denota por: ∫_a^b f(x)dx = lim_n→∞ Σ_i=1ⁿ f(x_i) (b

Preguntas sobre Correlación de Pearson

1. Cálculo del Coeficiente de Correlación Adecuado

   Señale, de forma fundamentada, qué coeficiente de correlación resulta adecuado calcular.

2. Supuestos para el Coeficiente de Pearson

   Mencione los supuestos que deben cumplirse para obtener dicho coeficiente.

3. Formulación de Hipótesis Estadísticas

   Formule las hipótesis estadísticas.

4. Cálculo e Interpretación del Coeficiente

   Calcule e interprete el resultado, considerando la dirección de la asociación y la variable que estaba siendo analizada.

5. Representación Gráfica: Gráfico de Dispersión

   Dibuje el gráfico de dispersión (o dispersiograma) que, aproximadamente, debería reflejar la relación entre las notas de los estudiantes.

6. Probabilidad Asociada (p-valor)