Chuletas y apuntes de Matemáticas de Secundaria

1. Estudio de las Funciones

Una función es una relación entre dos magnitudes, x e y, de forma que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. En esta relación, x es la variable independiente e y es la variable dependiente.

• Dominio: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente.
• Crecimiento: Una función es creciente cuando en el intervalo (a, b), si a < b, entonces f(a) < f(b).

Simetría de una función

• Simetría respecto al eje Y (Par): Se cumple cuando f(-x) = f(x).
• Simetría respecto al origen (Impar): Se cumple cuando f(-x) = -f(x).

Tipos de Funciones Polinómicas

Una función polinómica es una función asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).

Funciones

La Ecuación de Slutsky

Si tomamos como restricción en el problema de maximización de la utilidad el nivel de gasto resultante del problema de minimización del gasto, o si tomamos como restricción en el problema de minimización del gasto el nivel de utilidad resultante del problema de maximización de la utilidad, entonces las soluciones $X_i^*$ a los dos problemas y los valores de las funciones de demandas marshallianas y hicksianas serían idénticos.

Derivación Matemática

Sea $M = m(p, u)$, se puede escribir para el bien $i$:
$x_i^* = x_i^h(P, u) = X_i^*(P, m(p, u))$

Diferenciando respecto de $p_j$:
$\partial x_i^h / \partial P_j = \partial x_i^* / \partial P_j + (\partial x_i^* / \partial M) \times (\partial m / \partial P_j)$

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Problema 1: Composición de una Mezcla de Café

Una mezcla de café está compuesta por 3/8 de café de Brasil, 5/12 de café de Colombia y el resto de café de Arabia.

A) ¿Qué parte de café de Arabia tiene la mezcla?

Para encontrar la fracción de café de Arabia, restamos las fracciones de café de Brasil y Colombia del total (que es 1).

Cálculo:

• Fracción total: 1
• Fracción de Brasil: 3/8
• Fracción de Colombia: 5/12

Convertimos las fracciones a un denominador común (m.c.m. de 8 y 12 es 24):

1 - 3/8 - 5/12 = 24/24 - (3*3)/(8*3) - (5*2)/(12*2)

= 24/24 - 9/24 - 10/24

= (24 - 9 - 10) / 24

= 5/24

Respuesta: La parte de café de Arabia en la mezcla es 5/24.

B) Si de café de Arabia hay 70 gramos, ¿cuál es la cantidad en gramos de los otros cafés?

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1. Herritar kontzeptuaren jatorria

1.1. Definizioa

Bi ezaugarri nagusi ditu: lurralde batean aspalditik bizi den herrialde bateko kide izatea eta hiriak edo estatuak babestu beharreko eskubideak izatea. Hauetako bat, komunitate politikoaren gobernuan zuzenean edo zeharka parte hartzeko aukera izatea da.

1.2. Herritarrak Greko-latindar Antzinaroan

Civis zen latinez herritarra, eta Erroman herritarra izateko baldintza hauek bete behar ziren: gizona izatea, esklabo ez izatea, adinez nagusia izatea eta guraso erromatarrak izatea. Gainerako biztanleak ez ziren herritarrak. Grezia klasikoan, polites esaten zieten herritarrei. Hiria defendatzeko betebeharra funtsezkoa zen bai Grezian, bai Erroman.

Herritarrak Greziako demokrazian: tradizio politikoa

Antzinako... Continuar leyendo "Herritartasunaren Bilakaera: Antzinatetik Gaur Egunera" »

5. L’Eva ha de fer un plànol de la seva vivenda, que té una planta rectangular de 10m d’amplada per 15m de llargada. Per això disposa d’una cartolina de 30cm x 20cm. Quina és l’escala més adient pel plànol? Quins passos…

Per obtenir l’escala l’Eva ha de:

1. Dibuixar en un paper dos rectangles que simulin la forma de la planta de la seva vivenda (10m x 15m) i la cartolina (30m x 20cm).
2. Per poder caclular haurà de passar totes les unitats a una. En aquest cas de cm a m.
3. Dividir els cm del plànol amb els cm de la cartolina, és a dir, el seu costat semblant. Fer-ho dues vegades, una per l’amplada i l’altre per la llargada.
4. El resultat d’aquestes dos operacions ens donarà quants cm de la vida real equivalen

Adierazpen aljebraikoa:

letrak eta zenbakiak erlazionatzen dituen adierazpena.

Berdintza:

berdin zeinuaren bi aldeetan dauden bi adierazpen matematiko berdina direla adierazten du (identitateak ere badira).

Formula:

hainbat letra dituen berdintza da, eta letra horiek zenbakiak ordezkatzen dituzte.

Ekuazio bat:

zenbaki ezezagun bat edo gehiago dituen berdintza da; zenbaki ezezagun horiek letren bidez ordezkatzen dira.

Ekuazio bat ebaztea:

letra edo letren balioak aurkitzea da.

Soluzioa:

berdintza egiaztatzen duen zenbakia.

Identitatea:

itxuran desberdinak diren bi adierazpen aljebraikoren berdintza da, letren edozein baliorekin egiaztatzen dena.

Zati literala:

monomio baten letrazko zatia.

Aldagaia:

hainbat balio har ditzakeen elementua da.

Koefizientea:

Una correspondencia entre dos conjuntos es cualquier relación que se establece entre los elementos de esos conjuntos.

En una correspondencia se llama conjunto inicial al conjunto de partida, y conjunto final al conjunto de llegada.

Dos conjuntos o magnitudes son dependientes entre sí cuando los valores del primero determinan los valores que toma el segundo y viceversa.

Cuando existe una relación de dependencia entre dos magnitudes se dice que se puede expresar una magnitud en función de la otra.

Una correspondencia entre dos conjuntos se llama función si cada elemento del primero, se relaciona, como máximo, con un único elemento del segundo.

El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.

La... Continuar leyendo "Ejercicios resueltos de la creciente y decreciente de una función" »

Colegio People Help People: Plan Anual 2016

Institución: Santo Domingo

Profesor: Walter Sívoli

Curso: 1° Medio B

Cronograma de Contenidos y Evaluaciones

Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica

Cálculo de la Pendiente de una Recta

La pendiente ($m$) se calcula mediante la siguiente fórmula:

\[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

Cálculo del Punto Medio

El punto medio entre dos coordenadas $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es:

\[\text{Punto Medio} = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\]

Distancia entre Dos Puntos

La distancia ($d$) entre dos puntos se determina usando el teorema de Pitágoras:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Nota: En el documento original se observaba un error en la fórmula de distancia, se ha corregido para reflejar la fórmula estándar.

Ecuación de la Recta (Punto-Pendiente)

La ecuación de una recta dada un punto $(x_1, y_1)$ y su pendiente ($m$) es:... Continuar leyendo "Fórmulas Esenciales de Geometría Analítica y Clasificación de Funciones Matemáticas" »