Chuletas y apuntes de Matemáticas de Secundaria

ANOVA: Análisis de Varianza

Números Racionales

Los números racionales son aquellos que se pueden representar mediante una división, fracción o número decimal. Se representan con la letra Q mayúscula.

Fracciones

Una fracción es la parte de un todo, también conocida como una expresión de una cantidad dividida entre otra.

Ejemplos

• Fracción propia: El numerador es menor que el denominador.
• Fracción impropia: El numerador es mayor que el denominador.
• Fracción mixta: Compuesta por una parte entera y una fracción propia. Al convertirla, obtenemos una fracción impropia.
• Fracción decimal: Tiene como denominador una potencia de 10 (10, 100, 1000, etc.). Se leen de acuerdo con el denominador.

Fracciones equivalentes

Representan la misma cantidad. Se obtienen multiplicando o... Continuar leyendo "Números Racionales y Geometría: Conceptos Fundamentales" »

Lege Indarreko Arauen Konstituzionalitate Kontrola

Konstituzionalitate kontrolak planteatzen duen lehen arazoa da zein arau sartu behar diren kategoria horretan zehaztea. Auzitegi Konstituzionalaren Lege Organikoko (AKLO) 27.2. artikuluak galdera horri erantzuten dio, honako arau hauek biltzen dituelarik:

Kontrolpean dauden arauak (AKLO 27.2)

• Estatutu Organikoak
• Lege Organikoak
• Lege Arruntak
• Lege Dekretuak
• Dekretu Legegileak
• Nazioarteko Tratatuak
• Ganbaretako eta Gorte Orokorretako Erregelamenduak
• Aurreko kategorien balio berdinarekin Autonomia Erkidegoek eman ditzaketen arauak: legeak, dekretu legegileak eta beraien legebiltzarretako erregelamenduak.

Kontrolaren irismena eta arazo praktikoak

AKLOko 27.2. artikuluak ematen duen zerrenda horretan, praktikan... Continuar leyendo "Konstituzionalitate Kontrola: Arauak eta Arazo Praktikoak" »

Definición

En física, el trabajo mecánico se define como el producto de una fuerza aplicada sobre un cuerpo y el desplazamiento del cuerpo en la dirección de esta fuerza. Mientras se realiza trabajo sobre el cuerpo, se produce una transferencia de energía al mismo, por lo que puede decirse que el trabajo es energía en movimiento.

Fórmula

La fórmula general del trabajo mecánico es:

L = F * D * cos(α)

Donde:

• L: Trabajo
• F: Fuerza
• D: Distancia
• α: Ángulo comprendido entre la fuerza y el desplazamiento

Casos Particulares

Dependiendo del ángulo entre la fuerza y el desplazamiento, se presentan los siguientes casos:

Caso 1: Fuerza en la dirección del desplazamiento (α = 0°)

L = F * D * cos(0°) = F * D * 1

L = F * D

Caso 2: Fuerza con un ángulo agudo

ESTADO DE RESULTADOS
   Ítem/AÑO 0 1
2
3
4 5    Demanda Mercado   45.000 45.150 45.500 46.200 46.500    Demanda Empresa (20%)   9.000 9.030 9.100 9.240 9.300    Precio    $                             7  $                              7  $                                  7  $                        7  $                            7    Ing  x Vta    $                  63.000  $                    63.210  $                       63.700  $             64.680  $                 65.100... Continuar leyendo "Socio a: efectivo 20.000.000 : un carro 32.000.000;mercancías 230.000.000" »

Teorema de Rolle

Teorema 55 (Rolle) Sea f : [a, b] → R una función continua en [a, b], diferenciable en (a, b) y tal que f(a) = f(b). Entonces existe, al menos, un punto c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0 (ver Figura 68). Estos valores c se llaman puntos críticos de f.

Demostración: Si f es continua en [a, b], el Teorema 45 (de Weierstrass) garantiza que existen puntos e, d ∈ [a, b] donde f alcanza su máximo y su mínimo, respectivamente.

• Si e es punto interior de [a, b], existe un δ > 0 tal que (e − δ, e + δ) ⊂ (a, b). Entonces, para valores de h tales que |h| < δ, f(e + h) está bien definido y f(e + h)−f(e) ≤ 0 (pues f(e) es máximo). En este caso, notar que estos límites existen pues f es diferenciable. Como f'(e) ≥

Ejercicios Resueltos de Cálculo Multivariable y Optimización

Ejercicio 1: Conjuntos, Continuidad y Optimización con Teorema de Weierstrass

A) Dibuja el conjunto S = {(x, y) ∈ ℝ² / y ≤ 4 + 2x, y ≥ x² – 4, xy ≥ 0} y determina, justificando las respuestas, si es cerrado, acotado, compacto y/o convexo.

El conjunto S es cerrado. S está acotado, ya que S ⊂ B((0, 0), 13). S es compacto, ya que es cerrado y acotado. S no es convexo. Efectivamente, sean (–1, 0) ∈ S y (0, 1) ∈ S. Probaremos que el segmento L[(–1, 0), (0, 1)] ⊄ S, ya que, por ejemplo, el punto medio del segmento (–1/2, 1/2) ∉ S, pues (–1/2)·(1/2) = –1/4 < 0.

B) Si f(x, y) = x + y, justifica, usando el teorema de Weierstrass, si el problema de maximización

Sucesiones de Números Reales

Definiciones

Definición: Una sucesión en R es una aplicación x : N → R.

Definición: Una subsucesión de {x_n}_n∈N viene dada por una sucesión n₁ n₂ n_k x_nk}_k∈N.

Límite de una Sucesión de Números Reales

Definición: Sea {x_n}_n∈N una sucesión de números reales.

• x_n → l o lím x_n = l si ∀ ε > 0 ∃ n₀ ∈ N tal que n > n₀ ⇒ |x_n − l| x_n}_n∈N es convergente y converge a l.

Ejemplo: x_n = 1/n.

Definición: Sea {x_n}_n∈N una sucesión de números reales.

• lím x_n = +∞ (sucesión divergente a +∞) si ∀ k > 0 ∃ n₀ ∈ N tal que n > n₀ ⇒ x_n > k.
• lím x_n = −∞ (sucesión divergente a −∞) si ∀ k > 0 ∃ n₀ ∈ N tal que n > n₀ ⇒ x_n k.

En ese caso, se dice que la sucesión... Continuar leyendo "Sucesiones de Números Reales: Conceptos y Propiedades" »

Operaciones con Polinomios

Ambas operaciones verifican las siguientes propiedades:

Asociativa: [P(x) + Q(x)] + R(x) = P(x) + [Q(x) + R(x)]
Conmutativa: P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)
Existe elemento neutro: polinomio nulo
Cada polinomio tiene un opuesto
Por ejemplo, dados $P(x) = 2x^5 - 3x^2 + 2x -1$ y $Q(x) = x^4 + 7x^2 + 5x +2$ el resultado de la suma es $P(x) + Q(x) = 2x^5 + x^4 + 4x^2 + 7x + 1$ y el de la resta es $P(x) - Q(x) = 2x^5 - x^4 - 10x^2 - 3x - 3$.

Producto de polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro. Es decir, dado un polinomio cualquiera no existe otro que multiplicado por aquél dé 1.

Por último, se verifica la propiedad distributiva del producto... Continuar leyendo "Operaciones con Polinomios y Probabilidades: Definiciones y Conceptos" »