Chuletas y apuntes de Matemáticas de Secundaria

Mediatriz de un Segmento

Para hallar la mediatriz del segmento que tiene sus extremos en los puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂):

• Punto Medio (M): Se calcula el punto medio M del segmento AB: M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
• Pendiente Perpendicular: Se halla la pendiente del segmento AB (m_AB = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)) y luego la pendiente de la mediatriz (m_mediatriz = -1/m_AB).
• Ecuación de la Recta: Se aplica la ecuación punto-pendiente: y - y_M = m_mediatriz(x - x_M).

Circuncentro de un Triángulo

Para calcular el circuncentro de un triángulo cuyos vértices son A, B y C:

• Mediatriz del lado AB (r): Se calcula la mediatriz del lado AB siguiendo los pasos anteriores (punto medio, pendiente perpendicular, ecuación punto-pendiente).
• Mediatriz del lado AC (s): Se calcula la mediatriz

Funciones

Funciones polinómicas de primer grado: y = m x + n (sustituir los puntos y ya).

Funciones polinómicas de segundo grado: y = a x² + b x + c. Es una parábola. Se estudian: vértice (x_v, y_v), si a es mayor o menor que 0 (concavidad), puntos de corte con los ejes y tabla de valores.

Función racional: de tipo y = k / (x - a) es una hipérbola. Tiene asíntota vertical en x = a. Si k > 0, la hipérbola se sitúa en los cuadrantes I y III.

Función exponencial: y = a^x. Es creciente si a > 1. Construir tabla de valores para representación.

Función logarítmica: y = log_a(x). Dominio: (0, +∞). Es creciente si a > 1.

Combinatoria

Conceptos y fórmulas fundamentales:

• Permutaciones (orden total): P(n) = n! (todas las disposiciones de

Operaciones con Números Enteros

Suma de Números Enteros con Valor Absoluto

La suma de números enteros se puede representar utilizando la notación de clases de equivalencia, especialmente al trabajar con la construcción formal de $\mathbb{Z}$ a partir de pares ordenados:

• Suma de enteros positivos: $$(+3) + (+2) = [(3,0)] + [(2,0)] = [(3+2, 0)] = [(5,0)]$$
• Suma de enteros con signos opuestos: $$(-3) + (+2) = [(0,3)] + [(2,0)] = [(2,3)]$$

  Simplificando la clase: $$[(2,3)] = [(0, 1)] = -1$$

Propiedades de la Adición

Propiedades de la Adición en $\mathbb{N}$ (Números Naturales)

El conjunto de los números naturales ($\mathbb{N}$) bajo la operación de adición posee las siguientes propiedades:

1. Clausura: La suma de dos números naturales es otro número

A) Circunferencias que pasan por 2 puntos y son tangentes a una recta.

1. Trazamos la recta "e.r." que une los dos puntos dados. Esta será el eje radical de ambas circunferencias solución. El punto de corte "0" del eje radical con la recta dada será el punto medio del segmento tangente común a las dos circunferencias.
2. Trazamos la recta "r.c." que será la recta donde se encuentren los centros de las circunferencias solución.
3. Trazamos una circunferencia auxiliar de centro "03" situado en cualquier punto de la recta de centros; tenemos que hacer pasar dicha circunferencia por los dos puntos dados. Al pasar por los puntos dados implica que la recta "e.r." será también eje radical de dicha circunferencia.
4. Desde el punto "0" trazamos la tangente

Propiedades de los Determinantes

1. Si todos los elementos de una matriz son nulos, su determinante es igual a 0.
2. Si dos filas o columnas de una matriz cuadrada son iguales o proporcionales, su determinante es igual a 0.
3. Si una fila o columna de una matriz cuadrada es combinación lineal de otras paralelas, el determinante es igual a 0.
4. Si a una fila o columna se le suma una combinación lineal de otras paralelas, su determinante no varía.
5. Si permutamos dos filas o columnas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo.
6. Si multiplicamos una fila o columna de una matriz cuadrada por un número, su determinante queda multiplicado por dicho número.
7. El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su traspuesta: |A| = |A^t|.
8. El determinante

Balance de Materia

El alcohol que sale de la corriente lateral es el 30% del que entra con la alimentación:

E = 0.3 * A * x_a

E = 0.3 * 100 * 0.207 = 11.5 kmol/h

Las corrientes de destilado (D) y residuo (R) se obtienen del balance global:

100 = D + R + 11.5

100 * 0.207 = D * 0.742 + R * 0.020 + 11.5 * 0.54

D = 17.62 kmol/h

R = 70.88 kmol/h

El líquido recirculado a la columna como reflujo (L_d) y el vapor que la abandona por su cabeza (V_d) serán:

L_d = r * D = 2 * 17.62 = 35.24 kmol/h

V_d = L_d + D = D * (r + 1) = 17.62 * 3 = 52.86 kmol/h

No se afecta la corriente de vapor que circula a lo largo de la columna:

V_n = V_e = V_d = 52.86 kmol/h

El caudal que circula por la columna entre la extracción lateral y el plano de alimentación es:

L_e = L_d - E = 35.24 - 11.... Continuar leyendo "Análisis de una Columna de Destilación con Extracción Lateral" »

EJERCICIO 1

a) Peso de las cajas de yogur

El peso del contenido neto de los vasitos de yogur envasados por una empresa láctea se distribuye normalmente con una media de 125 gr y una desviación típica de 2,3 gr. Por otro lado, el peso de los vasitos que sirven de envases también se distribuye normalmente con una media de 10 gr y una desviación típica de 1,4 gr. Se distribuyen en cajas de 50 vasitos, y el peso de la caja de embalaje vacía se distribuye normalmente con una media de 70 gr y una desviación típica de 10 gr.

X_A: 'Peso del contenido neto de un vasito de yogur' …. X_A ~ N(125, 2,3)…. X_B:'Peso envase'….. X_B ~ N(10, 1,4) …. X_C: 'Peso caja vacía'….. X_C ~N(70, 10)….. X_D: 'Peso total caja llena'…. X_D ~ N((125+10)*50+70,... Continuar leyendo "Análisis Estadístico de la Producción de Yogur, Crecimiento de Lechones y Eficiencia de la Formación de Operarios" »

Distancia entre dos puntos

La distancia d entre dos puntos en el plano cartesiano se define como:

d =

Perímetro

Para calcular el perímetro (P) de una figura, se suman las distancias entre sus vértices:

P = d_AB + d_BC + d_AC (utilizar la fórmula de distancia mencionada anteriormente).

• x: representa la abscisa.
• y: representa la ordenada.

Punto de división de un segmento

Razón:

Donde n es el número de partes en las que se divide un segmento.

Hallar el punto que divide el segmento según la razón

Para encontrar las coordenadas del punto divisor:

X = | y =

Punto medio

Las coordenadas del punto medio de un segmento son:

X = | y =

Cálculo de la pendiente (m) y la inclinación

La pendiente se calcula mediante la fórmula:

m =

Encuentra un segundo punto

Definición de Ángulos

Un ángulo es la porción indefinida de plano limitada por dos líneas que parten de un mismo punto o por dos planos que parten de una misma línea, cuya abertura puede medirse en grados.

Clasificación según su medida

• Ángulo recto: Ángulo que tiene exactamente 90 grados.
• Ángulo agudo: Ángulo que tiene menos de 90 grados.
• Ángulo obtuso: Ángulo que tiene más de 90 grados.
• Ángulo llano: Es aquel que mide 180º (grados sexagesimales) o π radianes. Se forma por dos semirrectas o segmentos colineales unidos por un vértice, pero que van en sentidos opuestos.
• Ángulo completo: También llamado perigonal, es aquel que mide 360º (grados sexagesimales) o 2π radianes. Se forma cuando se da un giro completo.

Clasificación

Logaritmos

Log: Sea un número real positivo (d) y distinto de 1, y m un número real positivo. El logaritmo en base a de m es el exponente al que hay que elevar a para obtener m. lg_a m = x ↔ a^x = m.

Propiedades:

• lg_a a = 1
• lg_a 1 = 0
• lg_a a^y = y

Propiedades con demostración:

Logaritmo del producto: lg_a(m · n) = lg_am + lg_an

Demostración:

lg_a m = x → a^x = m; lg_a n = y → a^y = n

lg_a(m · n) = lg_a(a^x · a^y) = lg_a a^x+y = x + y = lg_am + lg_an

Logaritmo del cociente: igual a la diferencia de logaritmos.

Demostración:

lg_a m = x → a^x = m; lg_a n = y → a^y = n

lg_a(m/n) = lg_aa^x/a^y = lg_aa^x-y = x - y = lg_am - lg_an

Logaritmo de una potencia: producto del exponente por el logaritmo de la base.

Demostración:

lg_am^ά = x → a^x = m^ά

lg_a(m^ά) = lg_a(a^x)^ά = lg_aa^{x · ά}... Continuar leyendo "Logaritmos, Polinomios y Ecuaciones: Conceptos Clave y Resolución" »