Chuletas y apuntes de Matemáticas de Secundaria

Números enteros

El conjunto Z

Se trata de los números enteros negativos junto con los números naturales, que forman el conjunto de los números enteros, denominado Z.

Valor absoluto de un número

El valor absoluto de un número es su magnitud si prescindimos de su signo. Se escribe así: |x|.

Ejemplos: |13| = 13, |-27| = 27.

Gráficamente, el valor absoluto de un número es su distancia al cero: |-4| = 4.

Jerarquía de operaciones

1. Llaves, corchetes y paréntesis.
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicación y división.
4. Suma y resta.

Reglas de signos (multiplicación y división)

• + · + = +
• - · - = +
• + · - = -
• - · + = -

Fracciones

Fracciones equivalentes

Ejemplo: 1/2 = 2/4.

Siempre hay que buscar la fracción irreducible (simplificada).

Se puede obtener la fracción... Continuar leyendo "Números enteros, fracciones, decimales, potencias y radicales: conceptos y operaciones" »

Criterio de rechazo de una medida

Criterio determinista

Es un sistema que se fundamenta en determinar las medidas con mayor desviación respecto a la media. Dependiendo del número de reiteraciones que se hagan, seguiremos el siguiente criterio:

• Si n < 20: se rechaza la medida cuya desviación respecto a la media sea máxima.
• Si n > 20: se aplica dos veces la condición anterior.

Criterio de Chauvenet

Para aplicar este método, se rechazarán aquellas medidas cuya desviación respecto a la media sea:

|x_i - x̄| > K(n) · S

donde K(n) es un coeficiente que depende del número n de medidas realizadas y que asegura que se rechacen todas las medidas cuya probabilidad de aparición sea inferior a 1/(2n) (n = número de medidas realizadas).

Cálculo

Función Aleatoria: Definición y Características

FA: Es un conjunto de variables aleatorias definidas sobre un mismo campo de interés.

Características de la Función Aleatoria:

• La distribución de probabilidad Z de los datos depende de su ubicación.
• Las variables aleatorias son un subconjunto del depósito o un área que es considerada estacionaria.
• Está caracterizada por una FDA.

Objetivo de un Modelo de Función Aleatoria:

Objetivo final de un modelo de FA: Hacer corresponder a un punto “x” perteneciente a un espacio del dominio “X” una función aleatoria, para así construir una FDA (Función de Distribución Aleatoria) y con ello poder predecir los valores de puntos “x”.

Conceptos Fundamentales

Transacción de estacionaridad: Transacción... Continuar leyendo "Función Aleatoria: Conceptos Clave, Características y Aplicaciones en Geoestadística" »

Definición de Polinomio

Una fracción polinómica es aquella que se escribe de la forma P(x) = axⁿ + bx^m + cx^q...

Elementos del Polinomio

• A (Coeficiente): Es el valor numérico que acompaña siempre a la variable. Puede ser positivo o negativo, por lo que se debe respetar su signo. Si no existe un coeficiente visible al lado de la variable, se entiende que su valor es 1.
• X (Variable): Es la incógnita adscrita al polinomio, la cual puede variar según el tipo de función.
• N, M, Q (Exponentes): Son los exponentes de cada variable, los cuales describen el grado del polinomio.

Con el uso de esta variable, podemos conocer el valor numérico de dicha función polinómica, sustituyendo el valor en cada posición y realizando las operaciones resultantes.... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Polinomios: Definición, Clasificación y Operaciones" »

Mediatriz de un Segmento

Para hallar la mediatriz del segmento que tiene sus extremos en los puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂):

• Punto Medio (M): Se calcula el punto medio M del segmento AB: M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
• Pendiente Perpendicular: Se halla la pendiente del segmento AB (m_AB = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)) y luego la pendiente de la mediatriz (m_mediatriz = -1/m_AB).
• Ecuación de la Recta: Se aplica la ecuación punto-pendiente: y - y_M = m_mediatriz(x - x_M).

Circuncentro de un Triángulo

Para calcular el circuncentro de un triángulo cuyos vértices son A, B y C:

• Mediatriz del lado AB (r): Se calcula la mediatriz del lado AB siguiendo los pasos anteriores (punto medio, pendiente perpendicular, ecuación punto-pendiente).
• Mediatriz del lado AC (s): Se calcula la mediatriz

Funciones

Funciones polinómicas de primer grado: y = m x + n (sustituir los puntos y ya).

Funciones polinómicas de segundo grado: y = a x² + b x + c. Es una parábola. Se estudian: vértice (x_v, y_v), si a es mayor o menor que 0 (concavidad), puntos de corte con los ejes y tabla de valores.

Función racional: de tipo y = k / (x - a) es una hipérbola. Tiene asíntota vertical en x = a. Si k > 0, la hipérbola se sitúa en los cuadrantes I y III.

Función exponencial: y = a^x. Es creciente si a > 1. Construir tabla de valores para representación.

Función logarítmica: y = log_a(x). Dominio: (0, +∞). Es creciente si a > 1.

Combinatoria

Conceptos y fórmulas fundamentales:

• Permutaciones (orden total): P(n) = n! (todas las disposiciones de

Operaciones con Números Enteros

Suma de Números Enteros con Valor Absoluto

La suma de números enteros se puede representar utilizando la notación de clases de equivalencia, especialmente al trabajar con la construcción formal de $\mathbb{Z}$ a partir de pares ordenados:

• Suma de enteros positivos: $$(+3) + (+2) = [(3,0)] + [(2,0)] = [(3+2, 0)] = [(5,0)]$$
• Suma de enteros con signos opuestos: $$(-3) + (+2) = [(0,3)] + [(2,0)] = [(2,3)]$$

  Simplificando la clase: $$[(2,3)] = [(0, 1)] = -1$$

Propiedades de la Adición

Propiedades de la Adición en $\mathbb{N}$ (Números Naturales)

El conjunto de los números naturales ($\mathbb{N}$) bajo la operación de adición posee las siguientes propiedades:

1. Clausura: La suma de dos números naturales es otro número

A) Circunferencias que pasan por 2 puntos y son tangentes a una recta.

1. Trazamos la recta "e.r." que une los dos puntos dados. Esta será el eje radical de ambas circunferencias solución. El punto de corte "0" del eje radical con la recta dada será el punto medio del segmento tangente común a las dos circunferencias.
2. Trazamos la recta "r.c." que será la recta donde se encuentren los centros de las circunferencias solución.
3. Trazamos una circunferencia auxiliar de centro "03" situado en cualquier punto de la recta de centros; tenemos que hacer pasar dicha circunferencia por los dos puntos dados. Al pasar por los puntos dados implica que la recta "e.r." será también eje radical de dicha circunferencia.
4. Desde el punto "0" trazamos la tangente

Propiedades de los Determinantes

1. Si todos los elementos de una matriz son nulos, su determinante es igual a 0.
2. Si dos filas o columnas de una matriz cuadrada son iguales o proporcionales, su determinante es igual a 0.
3. Si una fila o columna de una matriz cuadrada es combinación lineal de otras paralelas, el determinante es igual a 0.
4. Si a una fila o columna se le suma una combinación lineal de otras paralelas, su determinante no varía.
5. Si permutamos dos filas o columnas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo.
6. Si multiplicamos una fila o columna de una matriz cuadrada por un número, su determinante queda multiplicado por dicho número.
7. El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su traspuesta: |A| = |A^t|.
8. El determinante

Balance de Materia

El alcohol que sale de la corriente lateral es el 30% del que entra con la alimentación:

E = 0.3 * A * x_a

E = 0.3 * 100 * 0.207 = 11.5 kmol/h

Las corrientes de destilado (D) y residuo (R) se obtienen del balance global:

100 = D + R + 11.5

100 * 0.207 = D * 0.742 + R * 0.020 + 11.5 * 0.54

D = 17.62 kmol/h

R = 70.88 kmol/h

El líquido recirculado a la columna como reflujo (L_d) y el vapor que la abandona por su cabeza (V_d) serán:

L_d = r * D = 2 * 17.62 = 35.24 kmol/h

V_d = L_d + D = D * (r + 1) = 17.62 * 3 = 52.86 kmol/h

No se afecta la corriente de vapor que circula a lo largo de la columna:

V_n = V_e = V_d = 52.86 kmol/h

El caudal que circula por la columna entre la extracción lateral y el plano de alimentación es:

L_e = L_d - E = 35.24 - 11.... Continuar leyendo "Análisis de una Columna de Destilación con Extracción Lateral" »