Propiedades de los Determinantes y Tipos de Matrices

Propiedades de los Determinantes

1. Si todos los elementos de una matriz son nulos, su determinante es igual a 0.
2. Si dos filas o columnas de una matriz cuadrada son iguales o proporcionales, su determinante es igual a 0.
3. Si una fila o columna de una matriz cuadrada es combinación lineal de otras paralelas, el determinante es igual a 0.
4. Si a una fila o columna se le suma una combinación lineal de otras paralelas, su determinante no varía.
5. Si permutamos dos filas o columnas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo.
6. Si multiplicamos una fila o columna de una matriz cuadrada por un número, su determinante queda multiplicado por dicho número.
7. El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su traspuesta: |A| = |A^t|.
8. El determinante del producto de dos matrices del mismo orden coincide con el producto de sus determinantes: |A · B| = |A| · |B|.
9. Si todos los elementos de una línea (fila o columna) se descomponen en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en dicha línea los sumandos correspondientes (siendo a+b, en el primer determinante se coloca a y en el segundo b).
10. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

Conceptos Fundamentales de Matrices

• Menor de una matriz: Se llama menor de orden r al determinante de la matriz formada por los elementos comunes a r filas y r columnas, siempre que r ≤ m y r ≤ n.
• Rango de una matriz (RG): Es el mayor orden de sus menores no nulos. También se define como el número de filas o columnas linealmente independientes.
• Matriz adjunta: Es la matriz del mismo orden cuyos elementos son los adjuntos de los elementos correspondientes en A.
• La inversa: Se define como A⁻¹ = 1 / |A| · (A^d)^t.

Clasificación y Tipos de Matrices

• Matriz nula: Aquella matriz que tiene todos sus elementos nulos.
• Matriz diagonal: Matriz cuadrada cuyos únicos elementos no nulos son los de la diagonal principal.
• Matriz escalar: Matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal iguales.
• Matriz unidad (Identidad): Matriz escalar con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1. Se denota por I. Si se quiere expresar la identidad de orden n, se escribe I_n.
• Matriz triangular: Matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos.
• Matriz traspuesta: Dada una matriz de dimensión m x n, se llama matriz traspuesta de A (y se denota A^t) a la matriz de dimensiones n x m que se obtiene intercambiando filas por columnas.
• Matriz simétrica: Matriz cuadrada que coincide con su traspuesta.
• Matriz antisimétrica: Matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su traspuesta.
• Matriz escalonada: Matriz que cumple que el primer elemento no nulo de una fila (a partir de la segunda) debe quedar más a la derecha que el primer elemento no nulo de la fila anterior. Las posibles filas con todos los elementos nulos deben ocupar los últimos lugares.
• Idempotente: Una matriz es idempotente si A² = A.
• Nilpotente de grado n: Una matriz es nilpotente si A^n = 0 (matriz nula).
• Matriz ortogonal: Matriz cuadrada cuya inversa coincide con su traspuesta.