Resolució d'exercicis de trigonometria pas a pas

Exercici 1

Dades: catet oposat = 4 cm, hipotenusa = 20,2 cm.

Catet continu: c² = a² + b² → 20,2² = 4² + b² → 408,04 = 16 + b² → b² = 392,04 → b = 19,8 cm

Raons trigonomètriques:

• sin α = 4 / 20,2 = 0,198
• cos α = 19,8 / 20,2 = 0,98
• tan α = 4 / 19,8 = 0,2

Angles: α = arcsin(0,198) = 11,4°; β = 180° - 90° - 11,4° = 78,6°

Exercici 2

Dades: desnivell = 800 m, carretera = 10.000 m.

sin α = oposat / hipotenusa = 800 / 10.000 = 0,08

α = arcsin(0,08) = 4,58°

Exercici 3

Apartat a

Angle de referència: arctan(0,58) = 30,11°. Al tercer quadrant, l'angle real és: 180° + 30,11° = 210,11°.

• sin(210,11°) = −0,50
• cos(210,11°) = −0,86
• tan(210,11°) = 0,58
• sec = 1/cos = −1,16
• cosec = 1/sin = −2
• cotan = 1/tan = 1,72

Apartat b

arcsin(0,92) = 67°. Al segon quadrant: 180° − 67° = 113°.

• cos(113°) = −0,39
• tan(113°) = −2,35
• sec = 1/cos = −2,55
• cosec = 1/sin = 1,09
• cotan = 1/tan = −0,426

Exercici 4

Apartat a

Mínim comú denominador = (1 + sin α)(1 − sin α):

= (1 − sin α + 1 + sin α) / (1 + sin α)(1 − sin α) = 2 / (1 − sin² α)

Com que 1 − sin² α = cos² α: 2 / cos² α = 2 · sec² α

Apartat b

Treu cos α factor comú del numerador = cos α · (cos² α + sin² α) / sin α

Com que cos² α + sin² α = 1: cos α · 1 / sin α = cos α / sin α = cotan α

Exercici 5

Del dibuix: hi ha 2 angles des del punt d'observació: 42° i 42° + 12° = 54°, i la distància horitzontal és 8 m.

tan 42° = x / 8 → x = 8 · tan 42° = 7,2 m

tan 54° = y / 8 → y = 8 · tan 54° = 11,01 m

Altura de l'arbre: h = y − x = 11,01 − 7,2 = 3,81 m

Exercici 6

Dades: distància total = 100 m, angle vers la moto = 70°, angle vers el cotxe = 40°.

tan 70° = a / x → a = x · tan 70°

tan 40° = a / (100 − x) → a = (100 − x) · tan 40°

Igualem:

x · tan 70° = (100 − x) · tan 40°

2,747x = 0,839 · (100 − x)

2,747x = 83,9 − 0,839x

3,586x = 83,9 → x = 23,39 m

Distància helicòpter al cotxe: a = tan 40° · (100 − 23,39) = 0,839 · 76,61 ≈ 64,3 m