Ejercicios Resueltos de Cálculo Diferencial e Integral de Varias Variables

Polinomio de Taylor y Límites

Dada la función: f(x) = e^(-2x) + ∫₀^(x²) e^(t²) dt

(a) Calcule el polinomio de Taylor de orden 2 de f en 0

Evaluamos f(0): f(0) = e⁰ + ∫₀⁰ e^(t²) dt = 1 + 0 = 1

Calculamos la primera derivada f'(x): Por el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena: d/dx [ ∫₀^(x²) e^(t²) dt ] = e^((x²)²) · d/dx(x²) = 2x · e^(x⁴). Por lo tanto: f'(x) = -2 e^(-2x) + 2x e^(x⁴). Evaluando en x = 0: f'(0) = -2 e⁰ + 2(0) e⁰ = -2 + 0 = -2.

Calculamos la segunda derivada f''(x): f''(x) = d/dx [ -2 e^(-2x) + 2x e^(x⁴) ] = 4 e^(-2x) + 2 e^(x⁴) + 2x (4x³ e^(x⁴)) = 4 e^(-2x) + 2 e^(x⁴) + 8x⁴ e^(x⁴). Evaluando en x = 0: f''(0) = 4(1) + 2(1) + 0 = 6.

Construimos el Polinomio de Taylor P₂(x): P₂(x) = f(0) + f'(0)·x + (f''(0) / 2!)·x² = 1 - 2x + (6 / 2) x² = 1 - 2x + 3x²

(b) Calcule lim_(x → 0) [f(x) - 1 + 2x] / x²

Utilizando el desarrollo de Taylor en x = 0: f(x) = 1 - 2x + 3x² + o(x²). Sustituyendo en el límite: lim_(x → 0) [ (1 - 2x + 3x² + o(x²)) - 1 + 2x ] / x² = lim_(x → 0) [ 3x² + o(x²) ] / x² = 3

(c) Determine si f presenta en 0 un extremo relativo

Para que f presente un extremo relativo en un punto diferenciable, es condición necesaria que su primera derivada sea cero. En este caso, f'(0) = -2 ≠ 0. Como la derivada no se anula en x = 0, f no presenta un extremo relativo en 0.

Integrales Definidas e Impropias

c) Calcule ∫₁⁴ ln(√t) dt

Simplificación del integrando: ln(√t) = (1/2) ln(t). Por lo tanto: ∫₁⁴ ln(√t) dt = (1/2) ∫₁⁴ ln(t) dt. Usando integración por partes (u = ln(t), dv = dt): ∫ ln(t) dt = t ln(t) - t. Evaluando: (1/2) [ t ln(t) - t ]₁⁴ = (1/2) [ (4 ln(4) - 4) - (1 ln(1) - 1) ] = 4 ln(2) - 3/2

(d) Clasifique y calcule ∫₁⁺∞ ln(√t) dt

Por definición de integral impropia: lim_(b → +∞) (1/2) [ b ln(b) - b + 1 ] = +∞. Conclusión: La integral impropia DIVERGE.

Funciones de Varias Variables

Ejercicio 4: Dominio y Continuidad

Sea f(x, y) = e^(√(1 - x² + y)) / (x² + y²). Para que f esté definida: 1 - x² + y ≥ 0 (y ≥ x² - 1) y (x, y) ≠ (0, 0). El dominio es la región sobre la parábola y = x² - 1, excluyendo el origen.

Ejercicio 5: Continuidad en el origen

Para f(x, y) = y² / (x⁴ + y²), al acercarnos por trayectorias y = mx², el límite depende de m (m² / (1 + m²)). Por tanto, f NO es continua en (0,0). Para g(x, y) = y⁴ / (x⁴ + y²), aplicando el Teorema del Sándwich, el límite es 0, por lo que g SÍ es continua en (0,0).