Chuletas y apuntes de Matemáticas

Instrumentos y Procedimientos para la Medición Forestal

I. Clinómetros

Los clinómetros son aparatos que nos sirven para medir la pendiente entre dos puntos. Esta inclinación se expresa habitualmente en grados o en porcentaje (%).

• Son comúnmente cajas de péndulo, que nos proporcionan la inclinación lanzando una visual entre los dos puntos que nos dan la referencia de la pendiente.
• Existen varios modelos. Lo habitual es disponer de clinómetros que nos midan la inclinación en grados y %.
• Todos los hipsómetros son o pueden ser clinómetros.

Medición de Árboles con Clinómetros (o Eclímetros)

Para medir la altura de un árbol utilizando un clinómetro, se siguen los siguientes pasos:

1. Situarse a una distancia conocida del árbol (distancia horizontal,

Métodos de Levantamiento Topográfico

A) Método de Radiación

Consiste en radiar una serie de puntos que queremos obtener desde un punto fijo o estación. Este método solo se puede emplear con puntos que están a la vista, así como todos los detalles que queremos dibujar. Debemos orientar la estación, haciendo coincidir el 0º del limbo con el norte geográfico. Una vez orientado, el ángulo que obtenemos es el acimut. Si no está orientado, los ángulos son lecturas. Se miden los ángulos horizontales y las distancias.

B) Método de Itinerario (Poligonales)

Se basa en la determinación de puntos mediante coordenadas polares. Este método se emplea cuando la zona a levantar no se ve desde una sola estación o bien si la longitud de los radios... Continuar leyendo "Fundamentos de Topografía: Métodos de Levantamiento y Regulación de Presión en Redes Hidráulicas" »

Raíces Comunes de Polinomios

Teorema 1: Combinación Lineal de Polinomios con Raíces Comunes

Si dos funciones polinómicas f(x) y g(x) tienen una raíz α en común, entonces α es también raíz de la función polinómica s(x), siendo s(x) el polinomio que resulta de sumar f(x) con g(x) previamente multiplicados por números reales m y n cualesquiera.

• Hipótesis (H):
  • f(x) es una función polinómica.
  • g(x) es una función polinómica.
  • Existe un valor α tal que f(α) = 0 y g(α) = 0.
• Tesis (T): s(α) = 0, siendo s(x) = m ⋅ f(x) + n ⋅ g(x) para m, n ∈ ℝ.

Demostración:

Consideramos la expresión de s(x):

s(x) = m ⋅ f(x) + n ⋅ g(x)

Sustituimos la variable x por la raíz común α:

s(α) = m ⋅ f(α) + n ⋅ g(α)

Por hipótesis, sabemos que... Continuar leyendo "Raíces Comunes y Relaciones de Vieta en Polinomios" »

Expresiones Algebraicas y Productos Notables

Los productos notables son multiplicaciones algebraicas específicas cuyo resultado puede escribirse directamente, sin necesidad de realizar todo el proceso de multiplicación. Conocer estas fórmulas agiliza los cálculos y la factorización.

Fórmulas Principales:

Cuadrado de un Binomio

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

Suma por su Diferencia (o Diferencia de Cuadrados)

(a + b)(a – b) = a² - b²

Binomio con Término Común

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

Cubo de un Binomio

(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

Cuadrado de un Trinomio

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Distribuciones de Probabilidad Discretas

Prueba de Bernoulli

Un experimento o prueba aleatoria es de Bernoulli cuando solo se pueden dar dos posibles resultados: éxito o fracaso (A, ). A∪ = E; A ∩ = ∅.

Variable de Bernoulli

Una variable aleatoria es de Bernoulli si toma los valores 0 o 1: 0 si al realizar el experimento se obtiene fracaso ( = ∅) ; 1 si se obtiene éxito (A). Sea p = P(A). Entonces 1-p = P( = ∅) = q; p+q = 1.

Definición: Sea X una variable aleatoria de Bernoulli. Su función de cuantía se puede expresar por . Diremos que X sigue una distribución de Bernoulli de parámetro p, se representa por X B(p).

Función de cuantía

Sea X B(p). Su función de cuantía o de probabilidad se puede expresar como

Propiedad: Sea... Continuar leyendo "Distribuciones de Probabilidad: Bernoulli, Binomial, Poisson y Normal" »

Media:

sumar todos los datos/N

Moda

El que mas se repite

Mediana

Ordenar de menor a mayor el que se queda a la mitad

Variables:

es lo que se decea investigar o llamada como variable de intetres y se define en los siguientes términos: que se investiga? De quien? Donde se hace la investigación? Cuando se hizo la investigación?

Tipos de variables se clasifican en 2:

Variables cualitativas:

es cuando se investiga un atributo o cualidad la respuesta es una palabra.

las variables cualitativas

Nominales: no hay forma de ordenarla

Ordinales: la respuesta se ordena de alguna manera

Variable cuantitativas:

es cuando se investiga una cantidad, la respuesta es representada por un numero.

a su vez las cuantitativas pueden ser:

Continuas

Puede ser cualquier numero,... Continuar leyendo "Frecuencia relativa porcentual" »

Definición de Números Racionales

Los números racionales son todos aquellos números x que pueden expresarse como una fracción, en la cual p es un número entero que se denomina numerador y q es un entero distinto de cero que se denomina denominador.

Son números racionales las fracciones y los decimales finitos. También pertenecen a los números racionales los números 8, -5, 56 y 0, cuyo denominador es el 1 (el cual no se escribe). Por lo tanto, el conjunto Q de los racionales tiene como subconjuntos a los enteros (Z), a los cardinales (N₀) y a los naturales (N).

Números Irracionales y Reales

Los irracionales, en cambio, son aquellos números que no pueden ser escritos en forma fraccionaria; por ejemplo: los números decimales infinitos... Continuar leyendo "Dominio de los Números Racionales: Conceptos, Clasificación y Operaciones" »

Números Combinatorios

Recordemos que el factorial de un número natural n, que denotaremos n!, es el producto de todos los números naturales menores o iguales a n:

n! = 1 · 2 · 3 · ··· · (n-1) · n

Definimos el número combinatorio C(n,m) (se lee n sobre m) como:

(Por razones técnicas, usaremos la notación C(n,m) cuando lo usemos dentro del texto).

Vamos a ver que este número es, de hecho, un número entero.

Para demostrarlo, necesitamos un cierto resultado sobre la parte entera de un número. Recordemos que la parte entera [x] de un número real x es el mayor número entero menor o igual que x, o sea que x - 1 < [x] ≤ x.

Observación: Sea n un número natural y m < n otro número natural. Entonces la parte... Continuar leyendo "Números Combinatorios: Propiedades y Teoremas Esenciales" »

Solo elásticas  -->  V₁ + V₁^I = V₂ +V₂^I     

general --> m₁ · V₁ + m₂ · V₂ = m₁ · V₁^I + m₂ · V₂^I                

elestic =  una empenya l'altre                inelastic = s'ajunten 

P = w/Δt

P = potencia     w = treball  j/s

w = |F| · Δx · cos α  -
-> unidad en J

F = sin α · m · g + µ · cos · m · g

     F_f = N · µ       F - F_f = m · a

MRUA    a = ( V_f - V_o ) / t     x = ( V_f - V_o ) / 2 · t             tensio   T - m·g = m · a 

MRU      v = x/t              x = x_o + v · t                      a.Angular   V² / r 

Ec = 0.5 · m · v2       Epg = m · g · h         Epe = 0.5 · k · x2

H = C1 / sen α    8 · sen 38 = 4.9

Lógica Proposicional

Lógica Proposicional

Es el **estudio** de los **argumentos** cuya **validez** depende de cómo estén conectados los **enunciados**, independientemente de su significado.

Argumento

Una **sucesión** de **proposiciones** cuyo propósito es la **implicación** de otra proposición.

Premisa

Sucesión de **proposiciones** que sirven como **evidencia**.

Conclusión

La **proposición inferida**.

Proposición

Es una **oración declarativa** que, en su significado, puede ser **Verdadera (V)** o **Falsa (F)**.

Variable

Es un **elemento no especificado** de un **conjunto de referencia**.

Forma Proposicional

Es una **expresión** que contiene una **variable** y que se transforma en **proposición** cuando se la sustituye por un elemento de un