Chuletas y apuntes de Matemáticas

Contraste de Hipótesis para Proporciones

a) Estimación y Planteamiento

Se tiene un total de n = 150 estudiantes, de los cuales x = 24 son zurdos. La proporción muestral (estimación de p) es:

p̂ = x / n = 24 / 150 = 0.16

Dado que la proporción muestral calculada es mayor que 0.1, planteamos las hipótesis:

• H₀: p = 0.1
• H₁: p > 0.1

El código en Python para realizar este contraste es:

st.binomtest(k=24, n=150, p=0.1, alternative="greater")

b) Interpretación del P-valor

El p-valor de 0.0143 indica la probabilidad de que 24 o más estudiantes de 150 sean zurdos, asumiendo que el porcentaje real en la población fuera del 10% (hipótesis nula). Para este cálculo, definimos la variable aleatoria X como el número de zurdos entre 150 estudiantes:... Continuar leyendo "Contraste de Hipótesis para Proporciones: Aplicación Práctica en Python" »

1. Sistemas de Ecuaciones Lineales

Para resolver sistemas de ecuaciones, sigue estos pasos fundamentales:

• Alinear: Coloca las ecuaciones una sobre otra (x con x, y con y).
• Eliminar: Suma o resta las ecuaciones para que una incógnita se anule. Si no se eliminan directamente, multiplica una ecuación por un número para que los coeficientes coincidan.
• Resolver: Despeja la incógnita restante (ej. 2x = 10 → x = 5).
• Sustituir: Usa el resultado obtenido en cualquier ecuación original para hallar la letra faltante.

Ejemplo de Reducción

Sistema: x + y = 10 y x - y = 2.

• Sumas: 2x = 12 → x = 6.
• Sustituyes: 6 + y = 10 → y = 4.

2. Inecuaciones

Se resuelven despejando la x como en una ecuación normal, pero con una regla de oro: si multiplicas o divides... Continuar leyendo "Resumen Esencial de Conceptos Matemáticos" »

Variables y modelos propuestos

Variable I_n — discreta (Binomial)

La variable I_n es discreta y se refiere a una cantidad cuyo suceso se clasifica en dos estados mutuamente excluyentes: "sin fallos" y "con fallos". Dado que el número de máquinas se contabiliza por turno y cada máquina actúa de forma independiente, se puede asumir que las máquinas representan n ensayos o evaluaciones (máquinas que se evalúan), siendo p el parámetro de la probabilidad de que no haya fallos. Por tanto, dado que habría n ensayos, con sucesos dicotómicos e independientes por máquina, estas características coinciden con la distribución binomial. Los parámetros que se pueden proponer serían Bin(30; 0,7). El parámetro p se pone alto porque se asume que... Continuar leyendo "Modelos probabilísticos para variables: binomial, uniforme, Poisson y normal" »

Factorials i Càlcul Combinatori

• Variació (Importa l'ordre, ex: banderes): $V_{a,b} = \frac{a!}{(a-b)!}$
• Combinació (No importa l'ordre, ex: batuts): $C_{a,b} = \frac{a!}{b! \cdot (a-b)!}$
• Permutació: $P_a = a!$ (Es pot calcular directament amb la calculadora).

Binomi de Newton

La fórmula del Binomi de Newton és: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} \cdot b^k$.

Els coeficients binomials $\binom{n}{k}$ són els nombres combinatoris, que es poden trobar utilitzant el Triangle de Tartaglia (o Pascal). La fórmula s'aplica fins que $n=k$.

Equacions de Segon Grau

Es resolen mitjançant la fórmula general:

Inequacions de Primer Grau

Es resolen com una equació normal, però cal tenir en compte les següents regles:

• Si es multiplica o divideix

Función Cuadrática (y = ax² + bx + c)

Curvatura

• Se a > 0: A parábola é convexa (abre cara arriba).
• Se a < 0: A parábola é cóncava (abre cara abaixo).

Vértice (x, y)

• Coordenada x (x_v): x_v = -b / (2a)
• Coordenada y (y_v): Substitúese o valor de x_v na función orixinal para obter y_v.

Táboa de Valores e Puntos de Corte

• Crear unha táboa de valores asignando diferentes valores a x para obter os correspondentes valores de y.
• Para atopar os puntos de corte cos eixes:
  • Eixe Y: Facer x = 0 e calcular y. O punto será (0, y).
  • Eixe X: Facer y = 0 e resolver a ecuación cuadrática para x. Os puntos serán (x, 0).

Función Afín

Táboa de Valores

• Crear unha táboa de valores asignando diferentes valores a x para obter os correspondentes valores de y.

Continuidade

Notaciones Generales

• Población: Conjunto de todos los elementos objeto de estudio.
• Individuo: Cada uno de los elementos de la población.
• Muestra: Subconjunto de la población.
• Carácter: Cada uno de los aspectos a estudiar.
• Variable: Aquella que recorre todos los valores de un carácter.
  • Cuantitativa: Toma valores numéricos. Puede ser discreta (toma valores aislados, sin decimales) o continua (puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, con decimales).
  • Cualitativa: Nunca toma valores numéricos.

Tipos de Estadística

• La estadística descriptiva expone y analiza caracteres de individuos de una población sin extraer conclusiones para un grupo mayor.
• La estadística inferencial trabaja con muestras y a partir de ellas extrae conclusiones para

La Regla de Oro de la Significación (El valor p)

• p ≤ 0.05 → ¡SÍ PASA ALGO! Hay diferencias, hay relación, el tratamiento funciona, etc. (Rechazo H₀).
• p > 0.05 → ¡NO PASA NADA! Los grupos son iguales, no hay efecto, todo se debe al azar. (Acepto H₀).

1. El Supuesto de Normalidad (Shapiro-Wilk)

¿Qué es? Saber si los datos forman una Campana de Gauss perfecta (donde Media = Mediana = Moda).

Criterio Invertido (¡OJO!): Aquí buscamos que sea mayor de 0.05 para que el modelo sea correcto.

• p > 0.05 → SÍ hay Normalidad → Se usan Pruebas Paramétricas (Student, ANOVA).
• p ≤ 0.05 → NO hay Normalidad → Se usan Pruebas No Paramétricas (Wilcoxon, Mann-Whitney, Kruskal-Wallis).

2. Comparación de Grupos (Contraste de Medias)

A. Independent

1. Distribución discreta (tabla con x y P(x))

Cómo reconocerla

Si observas una tabla con valores y probabilidades:

✅ Esto es una distribución discreta.

Ejemplo típico de examen

Find the mean and standard deviation of the distribution.

Paso 1: Media (μ)

Fórmula:

μ = Σ x·P(x)

Ejemplo:

μ = (5)(0.2) + (10)(0.5) + (15)(0.3)
μ = 1 + 5 + 4.5 = 10.5

✅ Media = 10.5

Paso 2: Desviación estándar (σ)

Fórmula completa:

σ = √[ Σ (x − μ)² · P(x) ]

Ejemplo:

1️⃣ Resta la media:

• (5 − 10.5)² = 30.25
• (10 − 10.5)² = 0.25
• (15 − 10.5)² = 20.25

2️⃣ Multiplica por P(x):

30.25(0.2) = 6.05
0.25(0.5) = 0.125
20.25(0.3) = 6.075

3️⃣ Suma y raíz cuadrada:

σ² = 12.25
σ = √12.25 = 3.5

✅ σ = 3.5

📌 Clave: Si hay tabla + media

Geometría

El Ángulo

Un ángulo es la porción del plano formada por dos semirrectas de origen común. Las semirrectas reciben el nombre de lados del ángulo y el origen común de los lados se llama vértice.

Designación de Ángulos

Los ángulos se designan de la siguiente forma:

• Mediante tres letras: las de los dos lados y el vértice. La letra del vértice siempre se coloca en el medio.
• Mediante la letra del vértice del ángulo.
• Mediante una letra adicional, generalmente letras griegas (ej. ángulo alpha, beta, gamma).

Clasificación y Propiedades de los Ángulos

• Ángulos contiguos: Son aquellos que tienen el mismo vértice y un lado común.
• Ángulos adyacentes: Son aquellos que tienen un lado común y los otros dos lados alineados.
• Ángulo recto:

Resumen de Conceptos Fundamentales en Estadística

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

• Media ($\bar{x}$): Suma todos los datos dividida por la cantidad de datos ($n$).
• Varianza ($\sigma^2$): Se calcula como $\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$.
• Desviación Estándar ($\sigma$): Es la raíz cuadrada de la varianza.
• Coeficiente de Variación (CV): Se define como $\left( \frac{\text{Desviación}}{\text{Media}} \right) \times 100\%$. Se utiliza para comparar la dispersión entre conjuntos de datos con medias muy diferentes. Un CV menor indica mayor homogeneidad.

Tablas de Contingencia y Relación entre Variables

Cálculos Básicos

• Totales: Suma de filas y columnas.

Prueba de Independencia

Se verifica si la frecuencia observada en una celda es igual... Continuar leyendo "Resumen de Fórmulas y Conceptos Clave en Estadística Descriptiva e Inferencial" »