Chuletas y apuntes de Matemáticas

Cálculo Combinatorio

Fórmulas para la selección de elementos:

• X = t + k - 1
• Y = k o Y = t - 1

Donde:

• t: tipos de elementos.
• k: cantidad a escoger (selección).

Ejemplo práctico: 27 libros, 16 de tipo A, 15 de tipo B, 10 son A y B.

Cálculo: 16 + 15 - 10 = 21. Entonces, 27 - 21 = 6.

Teoría de Grafos

Definiciones fundamentales

• Grafos isomorfos: Dos grafos G y G' son isomorfos si existe una correspondencia uno a uno entre sus vértices, tal que el número de aristas que unen cualquier par de vértices en G es igual al número de aristas que unen el par correspondiente en G'.
• Grafo conexo: Es aquel en el que existe un paseo entre cualquier par de vértices.
• Grafo ponderado: Grafo que tiene valores asignados a sus aristas.
• Grafo simple: Grafo que no contiene

Clasificación de los Números

¿Qué son los números reales?
Son todos los números que pueden ubicarse en una recta numérica y se usan para medir y contar.

¿Qué son los números naturales?
Son los números enteros positivos utilizados para contar y ordenar.

¿Qué son los números enteros?
Son los números positivos, negativos y el cero; no incluyen fracciones.

¿Qué son los números racionales?
Son los números que pueden expresarse como una fracción a/b, donde b ≠ 0.

¿Qué son los números irracionales?
Son números que no pueden expresarse como fracción y tienen decimales infinitos no periódicos.

¿Qué es un conjunto?
Un conjunto es una colección de elementos bien definidos.

Propiedades de la multiplicación

Conmutativa: El orden de los...

1. Clasificación de Variables y Escalas de Medición

Variables Cualitativas (Atributos)

• Ordinales: Poseen un orden intrínseco. Se representan mediante diagramas de barras.
• Nominales: No tienen orden. Se representan mediante diagramas de sectores o de barras.

Variables Cuantitativas (Numéricas)

• Discretas: No admiten valores intermedios. Se representan con diagramas de barras.
• Continuas: Admiten valores intermedios. Se representan mediante histogramas o polígonos de frecuencias.

Escalas de Medición

• Intervalo: El cero es relativo (ej. temperatura).
• Razón: El cero indica ausencia total (ej. dinero).

2. Ejercicio Práctico: Regresión y Correlación

Diagrama de Dispersión

Si los puntos siguen una tendencia clara, existe una relación directa y fuerte,...

Conceptos Fundamentales de Estadística

Variables Estadísticas

Existen dos tipos principales de variables:

• Variables Cuantitativas: Se miden numéricamente.
  • Discretas: Toman valores contables (ej. número de hijos).
  • Continuas: Pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo (ej. altura, peso).
• Variables Cualitativas: Describen atributos o categorías (ej. color de ojos).

Medidas de Centralización y Dispersión

Estas medidas resumen la información de un conjunto de datos:

• Media ($\bar{x}$ o $\mu$): Promedio aritmético.
• Moda: El valor que más se repite.
• Mediana (Med): El valor que ocupa la posición central al ordenar los datos.
• Rango Intercuartílico (RIC): Mide la dispersión del 50% central de los datos.
• Desviación Típica ($\sigma$ o $s$): Mide

Representación Gráfica de Datos

Histograma

• Definición: Un histograma es una representación visual de un conjunto de datos que utiliza barras rectangulares. La altura de cada barra representa la frecuencia de los datos en una clase.
• Construcción: Se basa en una tabla de distribución de frecuencias.
• Usos: Sirve para presentar las frecuencias de las variables y mostrar la distribución de los datos.

Polígono de Frecuencias

• Definición: Es una línea que conecta los puntos medios de la base superior de las barras de un histograma.
• Construcción: Se elige un sistema de coordenadas rectangulares donde el eje horizontal representa la variable y el eje vertical, la frecuencia.
• Usos: Se utiliza para presentar frecuencias absolutas y mostrar la tendencia

Ecuaciones de la Recta y el Plano en el Espacio (R³)

Ecuaciones de la Recta

• Ecuación Vectorial:

  $(x, y, z) = (a_1, a_2, a_3) + k \cdot (v_1, v_2, v_3)$

• Ecuación Paramétrica:

  $x = a_1 + k \cdot v_1$

  $y = a_2 + k \cdot v_2$

  $z = a_3 + k \cdot v_3$

• Ecuación Continua:

  $$\frac{x - a_1}{v_1} = \frac{y - a_2}{v_2} = \frac{z - a_3}{v_3}$$

• Ecuación Implícita (o General): La recta se define como la intersección de dos planos:

  $$\begin{cases} Ax + By + Cz + D = 0 \\ A'x + B'y + C'z + D' = 0 \end{cases}$$

Ecuación del Plano

• Ecuación General (Implícita):

  $Ax + By + Cz + D = 0$

Conceptos Fundamentales de Vectores

• Vector Fijo (o Ligado): Vector representado por un segmento orientado $\vec{AB}$.
• Vectores Equipolentes: Vectores fijos que tienen la misma dirección,

Conceptos Fundamentales en Modelos de Regresión

1. Multicolinealidad y Varianza

Si existe una fuerte correlación entre las variables explicativas de un modelo de regresión múltiple, esto implica que las varianzas de los parámetros estimados son muy altas.

Verdadero. Una fuerte correlación entre las variables independientes (X) aumenta la varianza de los estimadores, V(β̂). Considerando el modelo Y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + U, la varianza se define como:

V(β̂₁) = σ² / [Σx₁²(1 - r₁₂²)]

2. Sesgo de Especificación y Test RESET

Para analizar si un modelo de regresión presenta sesgo de especificación, debo estimar un modelo de variables dicotómicas, considerando un quiebre donde creo que está el sesgo.

Falso. Se debe...

Procedimientos y resultados de pruebas estadísticas

Se presenta a continuación la corrección ortográfica y la organización del documento original con los pasos, criterios e interpretaciones para distintas pruebas estadísticas (SPSS). No se ha eliminado contenido; se han corregido redacción, mayúsculas, puntuación y se han estructurado las instrucciones para facilitar su lectura.

Normalidad (variable cuantitativa)

Si sigue una distribución normal:

• Ruta en SPSS: Analizar > Pruebas no paramétricas (o Analizar > Estadísticos descriptivos > Exploratorio, según la versión).
• Seleccionar la prueba de Kolmogorov-Smirnov (K-S) para una muestra en el cuadro de diálogo.
• Elegir la variable de prueba (por ejemplo: ¿cuánto tiempo?) y marcar

Demostraciones de Congruencia Geométrica

1. Congruencia de los Triángulos ABC y BAD

Consideramos los triángulos ABC y BAD:

• Lado AD = Lado BC. (Lados del cuadrado son iguales)
• Ángulo DAB = Ángulo CBA. (Ángulos rectos de un cuadrado, 90°)
• Lado AB = Lado AB. (Lado común)

Por lo tanto, ΔABC ≅ ΔBAD. (Criterio Lado-Ángulo-Lado: Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo, los dos triángulos son congruentes).

• AC = BD. (Partes homólogas de figuras congruentes son iguales).

2. Congruencia de los Triángulos APD y BPC

Consideramos los triángulos APD y BPC:

• Ángulo DAP = Ángulo CBP. (Ángulos de un cuadrado, 90°)
• Lado AD = Lado BC. (Lados del cuadrado)

1.Dados los vectores u:(0,1,1) v(1,0,1) w(2,3,m)

2. Dado el punto A(5,2,8) y el plano &:2x-...