Manual Práctico de Funciones: Lineales, Cuadráticas, Racionales y Logarítmicas

Conceptos Básicos de Funciones

Función compuesta: (f∘g)(x) = f(g(x)) y (g∘f)(x) = g(f(x)).

Identidad notable: (a + b)² = a² + 2ab + b².

Tipos de Funciones

Funciones Lineales

Se representan como f(x) = mx + b (líneas rectas).

• m (pendiente): Si es positiva, la recta sube; si es negativa, baja.
• b: Intersección con el eje Y.
• Dominio: ℝ.
• Cálculo de pendiente: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).
• Ecuación punto-pendiente: y - y₁ = m(x - x₁).

Funciones Cuadráticas y Polinomiales

Forma: f(x) = ax² + bx + c (parábolas y curvas).

• Concavidad: Si a es positiva, abre hacia arriba; si es negativa, hacia abajo.
• Forma: Cuadrática (U), Cúbica (S).
• Dominio: ℝ.
• Vértice (x): x = -b / 2a.
• Fórmula general: x = (-b ± √b² - 4ac) / 2a.

Funciones Racionales

Fracciones con variables en el denominador, ej. f(x) = 1/x.

• Dominio: ℝ excepto los valores que anulan el denominador.
• Asíntota Vertical (AV): Valores excluidos del dominio.
• Asíntota Horizontal (AH): Si el grado del denominador es mayor, pasa por 0; si son iguales, se dividen los coeficientes principales.
• Intersección eje X: Igualar el numerador a 0.

Funciones Raíz

f(x) = √x. Dominio: [0, ∞). Inicia donde comienza el dominio y no cruza el eje Y.

Relaciones y Clasificación de Funciones

• Relación: Correspondencia entre elementos de un conjunto (Dominio) y otro (Codominio).
• Función: Relación donde a cada elemento del conjunto de partida (X) le corresponde uno y solo un elemento del conjunto de llegada (Y).
• Función inyectiva: Al rango le llega una sola flecha (o ninguna, pero nunca dos).
• Función sobreyectiva: El dominio es exactamente igual al codominio.
• Función biyectiva: Emparejamiento perfecto y exclusivo.

Logaritmos

El logaritmo encuentra el exponente al que hay que elevar una base para obtener un número determinado.

• Dominio: (0, ∞). Solo números positivos.
• Rango: Todos los números reales.
• Ejemplo: Si f(x) = log₂(x - 3), entonces x - 3 > 0, por lo tanto x > 3. El dominio es (3, ∞) y la asíntota está en x = 3.

Funciones por Partes

• Intervalos abiertos (<, >): Puntos abiertos.
• Intervalos cerrados (≤, ≥): Puntos cerrados.