Conceptos Básicos de Estadística

• Homogeneidad: El coeficiente de homogeneidad mide el grado de uniformidad de la dispersión de los datos respecto a su varianza; cuanto más pequeño, más homogéneo.
• Pearson vs. Spearman: Pearson se usa para medir si dos variables tienen una relación lineal, mientras que Spearman mide si una variable tiende a aumentar o disminuir cuando la otra lo hace, aunque la relación no sea lineal. Además, Spearman es más adecuado cuando hay valores atípicos o los datos no siguen una distribución normal. Por ejemplo, si y=x², al aumentar x, y también aumenta siempre. Spearman detectaría una relación perfecta, mientras que Pearson no, porque la relación no es una recta.
• Asimetría (Fisher): Mide el grado y la

Conceptos Fundamentales de Espacios Vectoriales

Subespacio Vectorial

Sea V un espacio vectorial sobre K. Un subconjunto no vacío U de V se dice que es un subespacio vectorial de V, y lo denotaremos por U ≤ V, si se verifican las siguientes condiciones:

• U es cerrado para la suma: Para todo u, w ∈ U, se cumple que u + w ∈ U.
• U es cerrado para el producto por escalares: Para todo α ∈ K y todo u ∈ U, se cumple que αu ∈ U.

Dependencia e Independencia Lineal

Sea V un espacio vectorial sobre K.

• Se dice que un conjunto de vectores {v₁, ..., vₙ} es linealmente dependiente (L.D.) si y solo si existen escalares a₁, ..., aₙ ∈ K, no todos nulos, tales que 0 = a₁v₁ + ... + aₙvₙ.
• Se dice que un conjunto de vectores {v₁, ..., vₙ}

Número de Soluciones de un Sistema de Ecuaciones Lineales

• a) Rectas Secantes (X): Sistema Compatible Determinado [Solución única]
• b) Rectas Coincidentes (/): Sistema Compatible Indeterminado [Infinitas soluciones]
• c) Rectas Paralelas (//): Sistema Incompatible [No tiene soluciones]

Métodos de Resolución de Sistemas

Método de Sustitución

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

   Ejemplo:

   x - y = 3 → x = 3 + y

   2x - 3y = 4

2. Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación.

   Ejemplo:

   2x - 3y = 4 (sustituyendo x = 3 + y) → 2(3 + y) - 3y = 4

3. Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta.

   Ejemplo:

   2(3 + y) - 3y = 4 → 6 + 2y - 3y = 4 → -y = 4 - 6 → -y = -2 → y = 2

4. Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo

Función lineal

La función lineal representa una relación de cambio constante entre dos variables. Su gráfica es una recta y se utiliza para modelar situaciones donde el crecimiento o disminución es uniforme.

Su ecuación es:

y = mx + b

El valor m indica la pendiente de la recta y determina si la función es creciente o decreciente, mientras que b representa el punto donde la recta corta al eje Y.

Función cuadrática

La función cuadrática es una función de segundo grado cuya gráfica es una parábola. Presenta un crecimiento variable y posee un punto importante llamado vértice, que corresponde al valor máximo o mínimo de la función.

Su ecuación general es:

y = ax² + bx + c

El coeficiente a define la abertura de la parábola y el valor... Continuar leyendo "Fundamentos de Funciones Matemáticas: Lineales, Cuadráticas y Exponenciales" »

Conceptos Fundamentales de Estadística y Metodología de Investigación

Este documento presenta una recopilación de términos esenciales en el ámbito de la estadística y la metodología de investigación, abarcando desde tipos de muestreo hasta técnicas de recolección de datos y conceptos estadísticos clave.

Tipos de Muestreo

Aleatorio simple

Muestreo en el que se utiliza una tómbola o un método equivalente para seleccionar individuos al azar.

Bola de nieve

Unos individuos conducen a otros, y esos a otros, y así sucesivamente, formando una cadena de referencias.

Muestreo casual o incidental

El investigador selecciona directa e intencionalmente a los individuos que formarán parte de la muestra.

Aleatorio sistemático

Toma de muestras de una

1. Muestras y frecuencias

• Población: Conjunto total que queremos estudiar.
• Muestra: Pequeña parte representativa de la población.
• Variable estadística: Característica que estudiamos.
• Cualitativa: Describe cualidades.
• Cuantitativa discreta: Valores numéricos enteros.
• Cuantitativa continua: Valores que pueden tener decimales.
• Frecuencia absoluta (f_i): Número de veces que aparece un dato.
• Frecuencia relativa (h_i): Se calcula como h_i = f_i / N.
• Porcentaje: Se obtiene mediante h_i × 100.

Truco: "ABSOLUTA = cantidad real" / "RELATIVA = relación con el total".

2. Gráficos estadísticos

• Barras: Ideales para comparar cantidades y categorías.
• Histograma: Utilizado para datos agrupados o intervalos continuos.
• Sectores: Representan porcentajes (tipo "trozos

Colección de Ejercicios de Matemáticas Aplicadas

Este documento presenta una serie de problemas de matemáticas, abarcando temas de cálculo diferencial e integral, funciones y aplicaciones prácticas. Cada sección incluye un conjunto de preguntas seguidas por sus respectivas respuestas.

Conjunto de Problemas 1

Preguntas

1. El costo mensual C, en pesos, para llamadas locales en cierta compañía telefónica.
2. ¿Cuál es el resultado al resolver el siguiente límite?
3. Encuentra el siguiente límite.

Respuestas

1. c
2. a
3. a
4. b
5. c
6. c
7. c
8. a
9. c
10. b
11. c
12. c
13. a
14. c
15. c
16. b
17. b
18. d
19. d
20. b
21. c
22. d
23. d
24. d
25. d
26. d
27. d
28. c
29. d
30. d

Conjunto de Problemas 2

Preguntas

1. Encuentra el valor de esta integral indefinida.
2. ¿Cuál es el resultado de resolver el siguiente límite?
3. Determina la antiderivada general de la función.

Respuestas

1. a
2. c
3. a
4. b
5. a
6. b
7. a
8. a
9. a
10. c
11. a
12. a
13. c
14. d
15. c
16. b
17. a
18. d
19. b
20. a
21. b
22. c
23. d
24. d
25. d
26. b
27. d
28. d
29. a
30. a

Conjunto

Derivades i límits de funcions matemàtiques

1. f(-1)=(-1)^3-2(-1)+1=2

f’(x)=3x^2-2.   f’(-1)=3(-1)^2-2=1   y=2+1(x-(-1)) y=2+x+1 y=x+3

6.Deri. c)y’=2x-5

b)y’=1(x-1)-(x+1)1   1   1x-1-x-1     -2 

            (x-1)^2         (x1)^2     (x-1)^2 

d)y’=24x^2+1         f’(x)=0(x)-(1•1)     0-1        -1

                     x                      x^2         x^2       x^2

y´=24x^2-1         y´=24x^4-1

              x^2                x^2

LIM b)   √ x^2+3     ∞  indet.

  lim-->∞   2x+1       ∞  

lim-->∞

√ x^2+3    √x^2     3       √ 1+3        √ 1+3           √ 1      1

       x         ... Continuar leyendo "Derivades i límits de funcions matemàtiques" »

Distribución Binomial

Bi(n (nº casos), p (probabilidad)) → q = 1 - p

P(x = a) =

· p^a · q^n-a

Distribución Normal

N(μ (media), σ (desviación típica)) → N(0, 1)

Tipificación

z = (x - μ) / σ

P[z ≤ -a] = 1 - P[z ≤ a]

P[z ≥ a] = 1 - P[z ≤ a]

P[z ≥ -a] = P[z ≤ a]

P[a ≤ z ≤ b] = P[z ≤ b] - P[z ≤ a]

Aproximación Binomial a Normal

n · p > 5 → Bi(n, p) → N(n · p, √(n · p · q)) → N(μ, σ)

Corrección de Yates

P[x = a] = P[a - 0'5 ≤ x' ≤ a + 0'5]

P[x ≤ a] = P[x' ≤ a + 0'5]

P[x < a] = P[x' ≤ a - 0'5]

P[x > a] = P[x' ≥ a + 0'5]

P[x ≥ a] = P[x' ≥ a - 0'5]

P[a ≤ x ≤ b] = P[a - 0'5 ≤ x' ≤ b + 0'5]

P[a < x < b] = P[a + 0'5 ≤ x' ≤ b - 0'5]

Intervalos de Confianza para la Media

N(μ, σ / √n)... Continuar leyendo "Distribución Binomial y Normal: Teoría y Ejercicios" »

Definición de la integral

1 Construcción de la integral

Definición 1

Sea [a, b] un intervalo. Una partición de [a, b] es un conjunto finito de puntos {x₀, x₁, . . . , x_n} tal que a = x₀ < x₁ < . . . < x_n = b. Usualmente, se denota por P := {x₀, x₁, . . . , x_n}.

Propiedades

Sea P := {x₀, . . . , x_n} una partición de [a, b]; esta define n subintervalos [x_i, x_i+1] para todo i = 0, . . . , n−1 que dividen a [a, b]. Además, se cumple que:

Σ_i=0^n-1 (x_i+1 − x_i) = b − a

Notación

Sea f : [a, b] → R acotada y P una partición de [a, b]. Definimos los siguientes valores:

• 1. m = inf{f(x) | x ∈ [a, b]}
• 2. M = sup{f(x) | x ∈ [a, b]}
• 3. m_i = inf{f(x) | x ∈ [x_i, x_i+1]} para todo i = 0, . . . , n − 1
• 4. M_i = sup{f(x) | x ∈ [x_i, x_i+1]}