Chuletas y apuntes de Matemáticas

Proposiciones Lógicas

Ejemplos de Proposiciones Lógicas Simples y Compuestas

• Soy minero: Es una proposición lógica simple.
• La luna en el mar riela: No es una proposición lógica.
• El pueblo unido jamás será vencido: No es una proposición lógica.
• No debía quererte y sin embargo te quiero: Es una proposición lógica compuesta.
• El tiempo lo cura todo: No es una proposición lógica.
• Lo que el viento se llevó: No es una proposición lógica.

Ejemplos de Proposiciones Lógicas con Conectores

• Ni te tengo ni te olvido: (¬p)∧(¬q)
• No firmo el documento sin haberlo leído: ¬(p∧¬q)
• Si te he visto no me acuerdo: p→¬q
• Si prometes y no das mal vas: (p∧¬q)→r
• Cuando marzo mayea, mayo marcea: p→q
• Si sale cara gano yo, si sale cruz pierdes tú:

Clasificación de Variables Según su Capacidad de Medición

La clasificación de variables es fundamental para la investigación, ya que determina el tipo de análisis estadístico que se puede aplicar.

Variables Cuantitativas

Son aquellas cuyos valores poseen un orden o magnitud. Sus valores pueden ser medidos en términos numéricos. Ejemplos: número de hijos, edad, peso, talla, escolaridad, temperatura.

Variables Cualitativas o Categóricas

Son aquellas que no pueden ser sometidas a cuantificación numérica. Solo se determina la ausencia o presencia de una característica. Ejemplos: sexo, resultado (positivo/negativo), nivel socioeconómico, religión, nacionalidad.

Tipos de Variables Cualitativas

• Variables Dicotómicas: Son aquellas que solo

Conceptos de Espacios Vectoriales

Sistema Generador

Se dice que un conjunto de vectores {e₁, e₂, ..., eₙ} es un sistema generador de E si cualquier vector de E se puede expresar como una combinación lineal de e₁, e₂, ..., eₙ.

Teorema de la Base

Sea E un subespacio vectorial (SEV) de dimensión finita n; cualquier conjunto de E formado por n vectores libres es una base de E. Si un conjunto es libre y tiene el número adecuado de vectores, entonces es generador.

Unión de Subespacios

Se define la unión de subespacios vectoriales como el subconjunto formado por los vectores de E que pertenecen a U o a V.

Aplicaciones Lineales y Endomorfismos

Aplicación Lineal

Se dice que f: E₁ → E₂ es una aplicación lineal de E₁ y E₂ si para cada...

Contrastes T en un modelo lineal uniecuacional

Para desarrollar la presente cuestión, abordaremos una serie de puntos fundamentales:

1. Especificación y estimación del modelo

Realizamos un estudio sobre la muestra de una población, estableciendo objetivos claros:

• Especificación: donde las variables predeterminadas X explican o determinan una variable endógena.
• Estimación de parámetros.
• Validación de modelos estimados: realizada mediante la medida del grado de ajuste, el análisis de los residuos y el coeficiente de determinación.

2. Formulación de hipótesis

En este paso, establecemos las hipótesis sobre las que consideramos que se puede estimar la muestra:

• H0: β = 0
• H1: β ≠ 0

Si aceptamos H0, se elimina xj como variable explicativa de...

Identidades Trigonométricas e Integración Fundamental

$$\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$$

$$1 - \cos x = 2\sin^{2}(x/2)$$

$$1 + \cos x = 2\cos^{2}(x/2)$$

Integración por partes: $$\int(u \, dv) = uv - \int(v \, du)$$

1. Coordenadas Polares, Límites y Continuidad

• Coordenadas polares: $x = r\cos x$, $y = r\sin x$.
• Exponenciales y logaritmos: $e^0 = 1$, $\log(1) = 0$. El argumento del logaritmo debe ser siempre positivo.
• Tangente: La función $\tan$ no existe cuando su argumento es un múltiplo impar de $\pi/2$ (es decir, $\pi/2 + k\pi$).
• Dominios: La función arcotangente acepta todos los números reales, al igual que el coseno. Dentro de una raíz cuadrada, el valor debe ser $\ge 0$ y el denominador debe ser distinto de $0$.
• Límites iterados: Si los límites

Zer izan zen Gerra Hotza?

Gerra Hotza 1945etik 1991ra bitarteko tentsio geopolitiko eta ideologiko iraunkorra izan zen, non mundua bi superpotentzien arteko lehian banatu zen: AEB (kapitalismo demokratikoa) eta SESB (komunismo autoritarioa). Bi botereek euren eragin-eremuak sortu zituzten eta sistema bipolarra eratu zen. Ez zen zuzeneko gerrarik egon bien artean, arma nuklearren beldurragatik, baina tentsioa etengabea izan zen, batez ere blokeen mugetan. Salbuespen garrantzitsua izan zen Lerrokatu Gabeko Herrialdeen Mugimendua, bi blokeetatik kanpo egon nahi zuena.

Gerra Hotzaren jatorria eta oinarriak

Gerra Hotzaren oinarriak II. Mundu Gerraren amaieran jarri ziren. Yaltako Konferentzian (1945), aliatuek etorkizuneko munduaren antolaketa eztabaidatu...

Medidas de Dispersión y Posición

• Varianza (s²): Σ(valor - media)² / (N - 1)
• Desviación estándar (s): √s²
• Coeficiente de variación: (s / media) × 100 (aplicable en escala de razón)
• Error estándar (EE): s / √n
• Cuartiles (Q): Posición = (n + 1) / 4
• Interpolación: Valor de pos. menor + decimal × (pos. mayor - pos. menor)
• Outliers: Q1 - 1.5(Q3 - Q1) y Q3 + 1.5(Q3 - Q1)

Indicadores Epidemiológicos

• Prevalencia puntual: (afectados / población total) × 100
• Prevalencia de periodo: (casos nuevos + casos existentes / población total) × 100
• Incidencia acumulada: (casos nuevos / población en riesgo al inicio) × 100
• Densidad de incidencia: (casos / suma de años de seguimiento) × 1000 (forma estándar: n personas-año)

Demografía y Tasas Vitales

• Índice

Muestreo Estratificado: Definición y Aplicación

El muestreo estratificado es un tipo de muestreo probabilístico en el que se divide a la población en segmentos que son homogéneos internamente y heterogéneos externamente. Dentro de cada uno de estos estratos se selecciona una parte para formar la muestra total. Una vez dividida la población, se realiza un muestreo aleatorio. Se utiliza para asegurar que todos los subgrupos importantes de la población estén representados adecuadamente en la muestra, reduciendo el error muestral respecto al muestreo simple.

Ejemplo Práctico

Queremos estudiar los hábitos de estudio en la universidad:

• Población: Todos los estudiantes de la universidad.
• Estratos: Dividimos a los alumnos por su facultad (Estrato

Límite de una función: una función f(x) tiene límite finito L cuando x tiende al valor “a” si y solo si, la función menos el límite en valor absoluto se puede hacer tan pequeño como se quiera con solo tomar valores de x próximos al valor a. Interpretación geométrica:  Apreciamos que prefijado un valor positivo de € encontramos los valores positivos fi, que es el radio del entorno reducido del valor “a”, si tomamos un valor de x perteneciente al dominio de la función y al entorno reducido de a, observamos que el valor de su ordenada es decir f(x) menos el valor del límite es menor en valor absoluto que €. A destacar que a medida que tomamos valores de x mas próximos a los valores de f(x) se acercan al límite L de la...

Definición de los Momentos Estadísticos (Centrados y No Centrados)

Los momentos son valores calculados a partir de la distribución de frecuencias. Son muy útiles ya que miden propiedades fundamentales de la variable observada.

Momentos No Centrados (Respecto al Origen)

Se define el momento no centrado, o respecto al origen, de orden r (a_r) como:

Fórmulas para Momentos No Centrados

• Para tablas con frecuencias:

  a_r = \frac{1}{n} \sum x_i^r n_i = \sum x_i^r f_i

• Para tablas sin frecuencias:

  a_r = \frac{1}{n} \sum x_i^r

El momento no centrado a_0 es igual a 1 en cualquier distribución de frecuencias. El momento no centrado a_1 se conoce también como media aritmética (\bar{x}).

Momentos Centrados (Respecto a la Media)

Se define el momento centrado,...