Chuletas y apuntes de Matemáticas

Formulario Esencial de Cálculo Diferencial

Fórmulas Fundamentales de Derivación (Cálculo Univariable)

Donde c es una constante y u, v son funciones de x.

Reglas Básicas y Potencias

• Derivada de una constante: (c)' = 0
• Constante por función: (cu)' = c · u'
• Suma o Resta: (u ± v)' = u' ± v'
• Producto: (uv)' = u'v + uv'
• Cociente: (u/v)' = (u'v - uv') / v²
• Regla de la Cadena: f(g(x))' = f'(g(x)) · g'(x)

Funciones Potenciales e Inversas

• Potencia: (uⁿ)' = n · uⁿ⁻¹ · u'
• Inversa simple: (1/u)' = -u' / u²
• Inversa potencial: (1/uⁿ)' = -n · u' / uⁿ⁺¹
• Raíz cuadrada: (√(u))' = u' / (2√(u))

Funciones Exponenciales y Logarítmicas

• Exponencial natural: (eⁿ)' = eⁿ · u'
• Exponencial base a: (aⁿ)' = aⁿ · ln(a) · u'
• Logaritmo natural: (ln

Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Estadística

En esta sección, exploraremos las definiciones esenciales que forman la base de la probabilidad y la estadística, herramientas cruciales para comprender y cuantificar la incertidumbre y los datos.

A) Probabilidad

Es la posibilidad de que ocurra un evento determinado.

B) Frecuencia Absoluta

Es el número de veces que un valor específico aparece en un conjunto de datos.

C) Frecuencia Relativa

Es la proporción de veces que un valor aparece en un conjunto de datos, calculada como la frecuencia absoluta dividida por el número total de datos.

D) Frecuencia Acumulada

Es la suma de las frecuencias de todas las clases hasta una clase específica en un conjunto de datos ordenado.

Experimento Aleatorio

Es

¿Qué es una función?

El concepto de función se define del modo siguiente: sean A y B conjuntos, se llama función entre A y B a cualquier relación establecida entre los elementos de A y B de tal modo que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.

En una función, al conjunto A se le llama dominio y al conjunto B se le llama rango o contradominio. La función se simboliza:

f: A → B y se lee: "función de A en B".

Dominio y rango de una función

• El dominio: Es el conjunto de valores que se le pueden asignar a la variable independiente de una función.
• El rango: Es el conjunto de números reales que puede asumir la función conforme la variable independiente toma valores en todo su dominio. Se le conoce también como la imagen

Propiedades de Espacios Métricos y Normados

Demostración

Sea y ∈ B*(x, r). Entonces 0 < d(x, y) < r. Tomemos ε := min{ d(x,y), r − d(x,y) } > 0.

Afirmamos que B(y, ε) ⊆ B*(x, r). Sea z ∈ B(y, ε), es decir d(y, z) < ε.

• Por desigualdad triangular: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + ε ≤ d(x, y) + (r − d(x, y)) = r.
• Además, d(x, z) ≥ d(x, y) − d(y, z) > d(x, y) − ε ≥ d(x, y) − d(x, y) = 0.

Luego z ∈ B*(x, r), lo que prueba que B*(x, r) es abierto. ∎

Demostración

Denotemos A = { t... Continuar leyendo "Propiedades Fundamentales de Espacios Métricos y Normados" »

Fundamentos de la Trigonometría

La trigonometría es la subdivisión de las matemáticas que se encarga de calcular los elementos de los triángulos. Para esto, se dedica a estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.

Ángulos: Medidas y Orientación

• Ángulo positivo y negativo: El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario a las agujas del reloj; por el contrario, si se desplaza en el sentido de las agujas del reloj, es negativo.
• Medidas de ángulos: Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades: el ángulo sexagesimal y el radián (rad).
• Ángulos complementarios: Son aquellos ángulos cuyas medidas suman 90°.

Clasificación de los Triángulos

Los triángulos se clasifican según sus lados y... Continuar leyendo "Fundamentos de Trigonometría: Conceptos, Triángulos y Razones" »

Objetivos de la Técnica Discriminante

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La técnica discriminante puede ser la adecuada cuando se persigue alguno de los siguientes objetivos:

• Diferenciación de Medias

  El primero de ellos es determinar si existen diferencias estadísticamente significativas entre las medias de los grupos a través del coeficiente Lambda de Wilks y el coeficiente F. Para este fin, se solicitará una tabla que muestre el valor de la media, la desviación típica y el número de casos en cada grupo para cada variable.

• Explicación de Variabilidad

  El segundo es determinar qué conjunto de variables ofrecen una explicación suficiente de las diferencias entre los grupos.

• Derivación de Funciones Discriminantes

  El tercero es que, a partir de ese conjunto pequeño de variables,

Este documento incluye una visión general de cada uno de los conceptos de forma resumida para que puedas consultarlos rápidamente.

1. Estadística

Es la ciencia que se encarga de recopilar, organizar, analizar, interpretar y presentar datos para tomar decisiones basadas en la información. Se divide en dos ramas principales: descriptiva e inferencial.

2. Estadística Descriptiva

Se encarga de recolectar, organizar y describir un conjunto de datos. Se utiliza para resumir la información mediante tablas, gráficos y medidas como la media, mediana y moda.

3. Estadística Inferencial

Permite hacer generalizaciones o predicciones sobre una población a partir de una muestra. Utiliza técnicas como estimaciones, pruebas de hipótesis y modelos probabilísticos.... Continuar leyendo "Estadística: Conceptos Clave y Fundamentos" »

Introducción a la Estadística

La estadística es un conjunto de técnicas que se utilizan para recopilar, organizar, interpretar, analizar y representar datos con el fin de establecer conclusiones o tomar decisiones en la resolución de problemas.

Clasificación de la Estadística

Estadística Descriptiva

Se enfoca en las primeras etapas del análisis de datos, como la recolección, organización y representación gráfica de la información. Su objetivo principal es describir y resumir los datos obtenidos.

Estadística Inferencial o Inductiva

Se encarga de interpretar los datos obtenidos a través de las técnicas descriptivas. Permite realizar inferencias y generalizaciones sobre una población a partir del análisis de una muestra representativa.... Continuar leyendo "Introducción a la Estadística: Conceptos Básicos y Tipos de Variables" »

Conceptos Clave en Álgebra Lineal: Matrices, Determinantes y Solución de Sistemas

A continuación, se presenta una revisión estructurada de los elementos fundamentales del álgebra lineal, incluyendo sus definiciones, significados y métodos de obtención.

1. La Matriz

a) ¿Qué es una matriz?

Conjunto ordenado de elementos dispuestos en filas y columnas, representado como:

b) ¿Qué indica o qué significa?

Permite organizar datos numéricos y representar sistemas de ecuaciones lineales de manera compacta.

c) ¿Cómo se construye?

No se calcula; se construye organizando los elementos en una tabla rectangular de dimensión $m \times n$ (donde $m$ es el número de filas y $n$ es el número de columnas).

2. El Determinante

a) ¿Qué es?

Escalar asociado... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones" »

PARTE 1: Modelo de Cournot (Competencia en Cantidades y Simultánea)

Caso A: Dos firmas simétricas (p = a − bQ, CMg = c)

• 1. Planteamiento del problema de la firma 1:
  Max π₁ = (a − b·q₁ − b·q₂ − c)·q₁
• 2. Condición de Primer Orden (CPO):
  Derivar respecto a q₁ e igualar a 0:
  a − 2b·q₁ − b·q₂ − c = 0
• 3. Función de Mejor Respuesta o Reacción BR₁(q₂):
  q₁* = (a − c)/(2b) − q₂/2
  → Repetir para la firma 2: q₂* = (a − c)/(2b) − q₁/2
• 4. Resolución por simetría:
  Dado que q₁ = q₂, sustituimos en una BR y resolvemos:
  qᴺ = (a − c) / (3b) (por firma)
  Qᴺ = 2(a − c) / (3b) (total industria)
  pᴺ = a − b·Qᴺ = (a + 2c) / 3
• 5. Beneficios:
  πᴺ = (pᴺ − c)·qᴺ = b·(qᴺ)² = (a − c)² / (9b)