Chuletas y apuntes de Matemáticas

Teoremas fundamentales sobre triángulos

Teorema 1

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

Teorema 2

Los suplementos de ángulos congruentes son congruentes.

Teorema 3

Los complementos de ángulos congruentes son congruentes.

Teorema 4

Si dos lados de un triángulo son congruentes, los ángulos opuestos a estos lados son congruentes. (Considerar la bisectriz).

Teorema 5

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, los lados opuestos a estos ángulos son congruentes.

Teorema 6

La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180°.

Teorema 7

Un ángulo exterior de un triángulo mide lo mismo que la suma de las medidas de los ángulos internos lejanos.

Teorema 4.1 (AA~AA)

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos

Funciones Esenciales y Referencias en Hojas de Cálculo

La Función BUSCARV (VLOOKUP)

La función BUSCARV nos ayuda a buscar un valor específico en la primera columna de una tabla de datos previamente definida y devolver un valor correspondiente de una columna adyacente.

Sintaxis de BUSCARV

BUSCARV(valor_buscado, matriz_buscar_en, indicador_columnas, [ordenado])

• Valor_buscado (Obligatorio): Es el valor que se va a buscar en la columna de la tabla.
• Matriz_buscar_en (Obligatorio): Es la tabla de búsqueda que contiene todos los datos.
• Indicador_columnas (Obligatorio): Es el número de la columna de la cual deseamos que la fórmula nos devuelva el resultado.
• Ordenado (Opcional): Puede ser VERDADERO (V) o FALSO (F). Si es FALSO (F), se realiza una búsqueda

Hipótesis del MRLC

El Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC) es un modelo econométrico uniecuacional que verifica las siguientes hipótesis fundamentales:

Sobre la perturbación aleatoria

• Se distribuye con esperanza matemática nula.
• Presenta varianza constante (homocedasticidad) y desconocida.
• Las covarianzas entre pares de perturbaciones son nulas, conformando una matriz escalar.

Sobre la matriz de observaciones (X)

• El rango de la matriz X debe coincidir con el número de columnas.
• El número de filas en X debe ser superior al número de columnas.
• X es determinista (no aleatoria).

Propiedades de los estimadores MCG

• El estimador MCG (Mínimos Cuadrados Generalizados) del modelo generalizado es un estimador insesgado.
• La matriz de covarianzas del

Geometría Vectorial y Ecuaciones de la Recta

1. Concepto de Vector

Un vector es un segmento orientado que se determina por dos puntos, $A$ y $B$, y el orden de estos. El primero de los puntos se llama origen y el segundo se denomina extremo, y se escribe $\vec{AB}$.

Magnitudes Escalares y Vectoriales

Las magnitudes que se expresan con un solo número se llaman magnitudes escalares. Si, además del valor numérico, necesitamos conocer la dirección y el sentido, son magnitudes vectoriales, y sus elementos son vectores.

Elementos de un Vector

• Módulo: Longitud del segmento $\vec{AB}$.
• Dirección: Es la recta sobre la que está situado el vector. Una recta y todas sus paralelas determinan la misma dirección.
• Sentido: Es la forma de recorrer el segmento

Conceptos Fundamentales de las Funciones Matemáticas

Una función es una relación entre dos variables a las que llamamos:

• x: variable independiente (ejemplo: tiempo).
• y: variable dependiente (ejemplo: distancia).

La función asocia a cada valor de x un único valor de y. Se dice que y es función de x, lo cual se escribe como y = f(x).

Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicos o para expresar relaciones en matemática.

Elementos Clave de la Representación Gráfica

Dominio de la Función

Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente x. Dicho conjunto se representa sobre el eje horizontal, llamado eje x o eje de las abscisas. El dominio señala el tramo de la función,...

Propiedades Fundamentales de las Operaciones con Números Racionales

Propiedad Conmutativa

Esta propiedad indica si el orden de los operandos afecta el resultado.

• Respecto a la Adición

  El orden de los sumandos no varía el resultado.
  Ejemplo: a/b + c/d = c/d + a/b

• Respecto a la Multiplicación

  El orden de los factores no altera el producto.
  Ejemplo: a/b ⋅ c/d = c/d ⋅ a/b

• Respecto a la División

  No se verifica esta propiedad, ya que el orden de los operandos sí altera el resultado.
  Ejemplo: a/b : c/d ≠ c/d : a/b

Propiedad Asociativa

Esta propiedad indica si el modo de agrupar los operandos afecta el resultado.

• Respecto a la Adición

  El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
  Ejemplo: (a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f)

• Respecto a la Multiplicación

  El

Correlació acusació‑sentència en el procediment abreujat

Correlació entre l’acusació i la sentència en el procediment abreujat: En el procediment abreujat, la correlació entre acusació i sentència (o congruència penal) significa que el tribunal no pot condemnar fora del que ha estat objecte d’acusació, perquè això vulneraria el principi acusatori i el principi de contradicció i generaria indefensió. La correlació (congruència) en el procediment abreujat exigeix que la sentència respecti l’objecte del procediment penal, és a dir: els fets que s’hi atribueixen i la persona a qui s’hi atribueixen, tal com queden fixats, sobretot, en els escrits d’acusació i de defensa i en el debat que se’n deriva.

En termes pràctics,...

Problemas de Proporcionalidad y Movimiento

• Problema 1: Ruedas unidas por una correa

  Dos ruedas están unidas por una correa de transmisión. La primera tiene un radio de 10 cm y la segunda de 50 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?

  Respuesta: 60 vueltas

• Problema 2: Escala de un plano

  En un plano de una ciudad, una calle de 350 metros de longitud mide 2.8 cm. ¿Cuánto mediría en el plano una calle de 200 metros?

  Respuesta: x = 1.6 cm

• Problema 3: Tiempo de viaje en autobús

  Un autobús recorre 70 km en dos horas. ¿Cuánto tardará en realizar un viaje de 345 km?

  Respuesta: x = 9.85 horas

Ecuaciones Algebraicas

Resolver las siguientes ecuaciones:

• Ecuación 1

  x(x − 1) = x − 4

  Respuesta: No hay solución

Regresión Lineal: Fundamentos y Aplicaciones

Evaluación Inicial del Modelo

1. ¿Existe correlación lineal entre las variables?

• Representar el gráfico de dispersión.
• Calcular el coeficiente de correlación (R).
• Analizar el gráfico de residuos ($ ext{residuo} = y_i - \hat{Y}$).

2. ¿Existen datos anómalos?

Para identificar un dato anómalo (outlier), el residuo debe ser mayor a $2-3 \cdot S_{y/x}$ (donde $S_{y/x}$ es la desviación estándar de la regresión).

Método de Mínimos Cuadrados

3. ¿Cuál es la mejor línea recta que pasa por los puntos?

Una vez aceptada la existencia de una correlación lineal y eliminados los posibles datos anómalos, se aplica el Método de Mínimos Cuadrados. Este método asume que todos los errores se encuentran...

Conceptos Fundamentales de Estructuras Algebraicas y Análisis

Espacios Vectoriales y Subespacios

Sea $(V, +, \cdot)$ un espacio vectorial (e.v.) y $W \subset V$.

Diremos que $W$ es un subespacio vectorial de $(V, +, \cdot)$ si $W$ es espacio vectorial para las mismas operaciones.

Sea $V$ un e.v. y $W \subset V$ con $W \neq \emptyset$. Entonces $W$ es un subespacio vectorial de $V$ si y solo si:

• Para todo $u, v \in W$, y para todo $\lambda, \mu \in K$ (el cuerpo escalar), se verifica que $\lambda u + \mu v \in W$.

Coordenadas de un Vector

Simbolizaremos las coordenadas mediante $[u]_B$. Sea $B = \{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ una base de $V$. Para cada $u \in V$, llamaremos coordenadas de $u$ en $B$ a una $n$-upla de escalares $\lambda_1, \lambda_2, \dots,...