Compendio de Cálculo Multivariable, Trigonometría y Variable Compleja

Identidades Trigonométricas e Integración Fundamental

$$\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$$

$$1 - \cos x = 2\sin^{2}(x/2)$$

$$1 + \cos x = 2\cos^{2}(x/2)$$

Integración por partes: $$\int(u \, dv) = uv - \int(v \, du)$$

1. Coordenadas Polares, Límites y Continuidad

• Coordenadas polares: $x = r\cos x$, $y = r\sin x$.
• Exponenciales y logaritmos: $e^0 = 1$, $\log(1) = 0$. El argumento del logaritmo debe ser siempre positivo.
• Tangente: La función $\tan$ no existe cuando su argumento es un múltiplo impar de $\pi/2$ (es decir, $\pi/2 + k\pi$).
• Dominios: La función arcotangente acepta todos los números reales, al igual que el coseno. Dentro de una raíz cuadrada, el valor debe ser $\ge 0$ y el denominador debe ser distinto de $0$.
• Límites iterados: Si los límites iterados son distintos, no existe el límite global.
• Límites por trayectorias: Si al acercarnos por la trayectoria $y = \lambda x$ el resultado depende de $\lambda$, el límite global no existe. Se recomienda probar con los ejes: $x$ (donde $y=0$, $\lambda=0$) y viceversa.
• Continuidad: Si el límite global no existe, la función no es continua. Para que una función sea continua en un punto, por ejemplo el $(0,0)$, el límite global debe ser igual al valor definido de la función; por ejemplo, si el límite es $1$, la función es continua si definimos $f(0,0) = 1$.

2. Cálculo Diferencial y Geometría del Espacio

Derivadas y Gradientes

• Vector Gradiente ($\nabla f$): Es el vector de las derivadas parciales respecto a $x, y, z$.
• Derivada de funciones trascendentes:
  • $\frac{d}{du} \arctan(u) = \frac{u'}{1+u^2}$
  • $\frac{d}{du} \ln(u) = \frac{u'}{u}$
• Derivada parcial por definición: $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}$.

Plano Tangente

Dada una superficie $z = f(x,y)$, podemos definir $F(x,y,z) = f(x,y) - z = 0$. El gradiente de F será el vector normal al plano tangente en el punto. La ecuación del plano tangente se expresa como: $$\frac{\partial f}{\partial z}(z - z_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(y - y_0)$$

Para encontrar en qué puntos el plano tangente es paralelo a otro (ej. $z = x$), igualamos o buscamos proporcionalidad entre los vectores normales.

Diferenciabilidad y Regla de la Cadena

• Diferenciabilidad: Una función es diferenciable si es continua en el punto y se cumple el límite: $$\lim \frac{f(x,y) - f(0,0) - \nabla f(0,0) \cdot (x,y)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = 0$$
• Derivada direccional: Si la función es diferenciable, se calcula como $D_v f(a) = \nabla f(a) \cdot v$. Si no es diferenciable, se usa la definición: $D_{(u,v)} f(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(tu, tv) - f(0,0)}{t}$.
• Matriz Jacobiana: Para una función con 2 entradas $(x,y)$ y 4 resultados, la matriz tendrá 4 filas y 2 columnas, compuesta por las derivadas parciales.
• Regla de la cadena: Si $F$ depende de $x, y$, y estas a su vez dependen de $u, v$, la derivada de $F$ respecto a $x$ es: $$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$$

3. Derivadas de Orden Superior y Optimización

Derivadas Mixtas y Puntos Críticos

• Derivada segunda mixta ($f_{xy}$): Se calcula primero la derivada respecto a $x$ y luego respecto a $y$. Por definición: $f_{xy}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,k) - \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{k}$.
• Puntos críticos: Se obtienen igualando las derivadas parciales $f_x$ y $f_y$ a $0$.

Criterio del Hessiano (H)

Sea $A = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$:

• Si $A < 0$: Existe un punto de silla.
• Si $A > 0$: Existe un extremo relativo.
  • Si $f_{xx} < 0$: Es un máximo.
  • Si $f_{xx} > 0$: Es un mínimo.
• Si $A = 0$: El criterio falla y se debe usar la lógica o el análisis de la función.

Optimización con Restricciones

Se define la función objetivo y la restricción. Se despeja una variable de la restricción, se sustituye en la función objetivo, se deriva y se iguala a $0$.

4. Variable Compleja

Condiciones de Cauchy-Riemann y Euler

• Diferenciabilidad en complejos: Una función tiene derivada si cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann: $u_x = v_y$ y $u_y = -v_x$.
• Fórmula de Euler: $e^{iy} = \cos(y) + i\sin(y)$.
• Derivada compleja: Se puede calcular como $u_x + i v_x$.
• Ejemplo de identidad: $e^{-x}(\cos y - i\sin y) = e^{-x}\cos y - i e^{-x}\sin y$.

Funciones Armónicas y Conjugadas

• Función armónica: Una función es armónica si cumple la ecuación de Laplace ($\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0$).
• Cálculo de la armónica conjugada ($v$): Si conocemos $u$, usamos $u_x = v_y$ e integramos respecto a $y$ para hallar $v$, lo que nos dará una constante de integración $C(x)$. Luego, derivamos respecto a $x$ e igualamos a $-u_y$ para determinar $C(x)$.

Trigonometría y Forma Polar en Complejos

• Valores notables: $\cos(\pi) = -1$, $\sin(\pi) = 0$, $\cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Módulo y Argumento: El módulo $r$ es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la parte real e imaginaria. El ángulo (argumento) es $\arctan(\text{imaginario}/\text{real})$.
• Coseno complejo: $\cos(iz) = \frac{e^{i(iz)} + e^{-i(iz)}}{2} = \frac{e^{-z} + e^z}{2}$.