Competencia Estratégica y Equilibrio en Mercados Oligopólicos

PARTE 1: Modelo de Cournot (Competencia en Cantidades y Simultánea)

Caso A: Dos firmas simétricas (p = a − bQ, CMg = c)

• 1. Planteamiento del problema de la firma 1:
  Max π₁ = (a − b·q₁ − b·q₂ − c)·q₁
• 2. Condición de Primer Orden (CPO):
  Derivar respecto a q₁ e igualar a 0:
  a − 2b·q₁ − b·q₂ − c = 0
• 3. Función de Mejor Respuesta o Reacción BR₁(q₂):
  q₁* = (a − c)/(2b) − q₂/2
  → Repetir para la firma 2: q₂* = (a − c)/(2b) − q₁/2
• 4. Resolución por simetría:
  Dado que q₁ = q₂, sustituimos en una BR y resolvemos:
  qᴺ = (a − c) / (3b) (por firma)
  Qᴺ = 2(a − c) / (3b) (total industria)
  pᴺ = a − b·Qᴺ = (a + 2c) / 3
• 5. Beneficios:
  πᴺ = (pᴺ − c)·qᴺ = b·(qᴺ)² = (a − c)² / (9b)

Caso B: n firmas simétricas

• 1. CPO para la firma i:
  a − 2b·qᵢ − b·Σⱼ≠ᵢ qⱼ − c = 0
• 2. Resolución por simetría:
  Todas las firmas producen igual. Sustituir Σⱼ≠ᵢ qⱼ = (n−1)·qᵢ:
  qᵢᴺ = (a − c) / [b(n + 1)]
  Qᴺ = n·(a−c) / [b(n+1)]
  pᴺ = (a + n·c) / (n + 1)
  → Si n → ∞: pᴺ → c (Competencia Perfecta)
  → Si n = 1: pᴺ = (a+c)/2 = pᴹ (Monopolio)

Caso C: Costos asimétricos (c₁ ≠ c₂, 2 firmas)

• 1. CPO firma 1: a − 2b·q₁ − b·q₂ − c₁ = 0
• 2. CPO firma 2: a − 2b·q₂ − b·q₁ − c₂ = 0
• 3. Resolución del sistema:
  Restar ecuaciones o realizar sustitución:
  q₁ᴺ = (a + c₂ − 2c₁) / (3b)
  q₂ᴺ = (a + c₁ − 2c₂) / (3b)
  ⚠ Nota: Si algún qᵢᴺ < 0, esa firma no produce y sale del mercado. Es imperativo revisar que ambos sean ≥ 0.
• 4. Beneficios de la firma i:
  πᵢ = (pᴺ − cᵢ)·qᵢᴺ = b·(qᵢᴺ)²

Caso D: IHH e Índice de Lerner en Cournot

PARTE 2: Modelo de Bertrand (Competencia en Precios y Simultánea)

Caso A: Producto homogéneo y costos simétricos

• 1. Dinámica: La firma que fije el precio más bajo captura todo el mercado.
• 2. Equilibrio: Ambas firmas fijan p = c (Paradoja de Bertrand):
  p₁ᴮ = p₂ᴮ = c
  π₁ = π₂ = 0
  ⚠ Nota: Con costos fijos F > 0, las firmas tendrían π = −F < 0 si entran ambas. Por lo tanto, solo entra una, resultando en un monopolio.

Caso B: Producto homogéneo y costos asimétricos (c₁ < c₂)

• 1. Estrategia: La firma 1 puede cobrar justo por debajo de c₂ para capturar todo el mercado.
  pᴮ = c₂ − ε (donde ε → 0)
• 2. Resultados:
  π₁ = (c₂ − c₁)·D(c₂)
  π₂ = 0
  → La firma 2 no vende nada al no poder igualar el precio de la firma 1 sin incurrir en pérdidas.

Caso C: Productos diferenciados SUSTITUTOS (qᵢ = a − b·pᵢ + d·p_rival, d > 0)

• 1. Beneficio: π₁ = (p₁ − c)·q₁ = (p₁ − c)·(a − b·p₁ + d·p₂)
• 2. CPO respecto a p₁:
  a − 2b·p₁ + d·p₂ + b·c = 0
• 3. Función de reacción BR₁(p₂):
  p₁* = (a + b·c + d·p₂) / (2b)
  → La BR tiene PENDIENTE POSITIVA: si el rival sube el precio, yo también lo subo.
• 4. Resolución por simetría (p₁ = p₂):
  p* = (a + b·c) / (2b − d)
  → p* > pᶜᵒᵘʳⁿᵒᵗ (los precios son más altos que en la competencia por cantidades).

Caso D: Productos diferenciados COMPLEMENTARIOS (qᵢ = a − b·pᵢ − d·p_rival, d > 0)

• 1. Función de reacción BR₁(p₂):
  p₁* = (a + b·c − d·p₂) / (2b)
  → La BR tiene PENDIENTE NEGATIVA: si el rival sube el precio, yo lo bajo.
• 2. Resolución por simetría (p₁ = p₂):
  p* = (a + b·c) / (2b + d)

Caso E: Restricciones de capacidad (kᵢ = capacidad máxima)

• 1. Escenario: Si las capacidades son pequeñas (kᵢ < qᶜᵒᵘʳⁿᵒᵗ), el equilibrio de Bertrand ya no es p = c.
• 2. Resultado: El equilibrio converge al resultado de Cournot con qᵢ = kᵢ.
  Tratar kᵢ como la cantidad Cournot y calcular pᴺ = a − b·(k₁ + k₂)

PARTE 3: Modelo de Stackelberg (Competencia en Cantidades y Secuencial)

Definición de roles

Paso a paso: Inducción hacia atrás

• 1. SEGUIDOR (firma 2): Se resuelve como Cournot considerando q₁ como un valor fijo.
  Max π₂ = (a − b·q₁ − b·q₂ − c)·q₂
  CPO: a − b·q₁ − 2b·q₂ − c = 0
  BR del seguidor: q₂ˢ(q₁) = (a − c − b·q₁) / (2b) = (a−c)/(2b) − q₁/2
  → Esta es la misma BR que en Cournot, pero aquí el líder la conoce y la utiliza estratégicamente.
• 2. LÍDER (firma 1): Sustituye la función q₂ˢ(q₁) en su propia función de beneficio y maximiza.
  π₁ = (a − b·q₁ − b·q₂ˢ(q₁) − c)·q₁
  Sustituyendo q₂ˢ: π₁ = [(a−c)/2 − b·q₁/2]·q₁
  CPO: (a−c)/2 − b·q₁ = 0 → q₁ˢ = (a−c)/(2b)
  ⚠ Nota: q₁ˢ = qᴹ (cantidad de monopolio). El líder produce como un monopolista sobre la mitad del mercado.
• 3. Determinación de la cantidad del seguidor:
  Sustituir q₁ˢ en la BR del seguidor:
  q₂ˢ = (a−c)/(4b)
• 4. Resultados finales de Stackelberg:
  Qˢ = q₁ˢ + q₂ˢ = 3(a−c)/(4b)
  pˢ = (a + 3c) / 4
  π₁ˢ = (a−c)² / (8b)
  π₂ˢ = (a−c)² / (16b)