Chuletas y apuntes de Matemáticas

Tipos de Números

Números Naturales

Los números naturales son los que usamos en el proceso de contar, incluyendo el 0 (aunque algunas definiciones excluyen el 0).

Números Enteros

Son aquellos que incluyen todos los números naturales positivos junto con sus opuestos negativos y el número 0.

Números Racionales

Los números racionales son aquellos números que podemos expresar como fracciones, donde tanto el numerador (la parte de arriba) como el denominador (la parte de abajo) son números enteros, y el denominador es distinto de cero.

Números Irracionales

Los números irracionales son aquellos que no pueden ser escritos exactamente como una fracción simple de dos números enteros. Su expresión decimal es infinita y no periódica.

Números Reales

Son... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Números, Potencias y Operaciones Básicas" »

Teorema del Valor Intermedio (TVI)

1. Definir f(x) y verificar el cambio de signo: f(xL) · f(xU) < 0.
2. Evaluar si f(x) es continua (polinomios, funciones seno o coseno).
3. Entonces, por el TVI, existe c ∈ [xL, xU] tal que f(c) = 0.
4. Evaluar en un subintervalo que sea la mitad del inicial o final, y seguir analizando según el paso 3.

Método de Bisección (Corte Binario)

1. Elegir valores iniciales: inferior xL y superior xU, de tal forma que la función cambie de signo.
2. Calcular el punto medio: xR = (xL + xU) / 2.
3. Evaluar el signo del producto f(xL) · f(xR):

• Si f(xL) · f(xR) < 0: La raíz está dentro del subintervalo izquierdo. Hacer xU = xR y volver al paso 2.
• Si f(xL) · f(xR) > 0: La raíz está en el subintervalo superior

Polinomio de Hermite: Fundamentos y Aplicación

El polinomio de Hermite se utiliza para interpolar (n+1) puntos con un único polinomio de grado (2n+1). Para ello, se emplean como datos de partida los pares (x,y) y la derivada de la función en cada punto (y').

Datos de Partida

Los datos iniciales requeridos son:

• (𝑥₀, 𝑦₀, 𝑦'₀)
• (𝑥₁, 𝑦₁, 𝑦'₁)
• (𝑥₂, 𝑦₂, 𝑦'₂)
• ...
• (𝑥_n, 𝑦_n, 𝑦'_n)

Fórmula del Polinomio de Hermite

El polinomio de Hermite se expresa como:

P_2n-1(x) = f(z₀) + ∑ f(z₀, z₁, ..., z_k)(x − z₀)(x − z₁)...(x − z_k-1)

Se define una nueva variable z_k, que toma k=2n valores. Esta se estima a partir de x_i de la siguiente manera: z_2i = z_2i+1 = x_i.

La función f(z₀, z₁, ..., z_k) se construye a partir de las diferencias... Continuar leyendo "Interpolación Polinómica y Métodos Iterativos para Sistemas Lineales" »

El intervalo abierto (-2, 1) es el conjunto de los números reales x que verifican: -2 < x < 1. El intervalo abierto (-∞, 0) es el conjunto de los números reales x que verifican: x < 0. El conjunto de los números reales x que verifican 0 ≤ x < 1 es [0, 1). La expresión f(x) = 1/x define una función f: I → R cuando I = [1, ∞). La expresión f(x) = √(2x - 1) define una función f: I → R si I = [1, ∞). La expresión f(x) = (x² - 1)/(x - 2) define una función f: I → R si I = (4, ∞). El gráfico de la función f(x) = x² - x + 1 pasa por el punto (2, 7). El gráfico de la función f(x) = x³ - 2x + 1 no pasa por el punto (-2, 3). El gráfico de la función f(x) = 1/x definida en el intervalo (0, ∞) pasa por... Continuar leyendo "Funciones Matemáticas: Análisis de Gráficas, Derivadas y Continuidad" »

Prueba de hipótesis para la media

1. Describir el parámetro (μ)

• La muestra debe ser aleatoria y representativa.

2. Establecer la hipótesis nula (H0)

• H0: μ ≤ valor hipotético (o ≥, =)

3. Establecer la hipótesis alternativa (H1)

• H1: μ > valor hipotético (o <, ≠)

4. Seleccionar el nivel de significancia (α)

• Si no está definido, suponer α = 0.05.

5. Determinar el estadístico de prueba

• Si n ≥ 30, usar la primera fórmula.
• Si n < 30, usar la segunda fórmula.

6. Verificar los supuestos

• Si n ≥ 30: Los datos tienen distribución normal.
• Si n < 30: Hallar límites inferior (LI) y superior (LS) para detectar valores atípicos.
• LI = Q1 - 1.5(RIC); LS = Q3 + 1.5(RIC); RIC = Q3 - Q1.
• Si hay datos fuera de esos límites, los datos no son

Metodología para el Cálculo de Requerimientos Energéticos y Distribución de Macronutrientes

Este documento detalla un proceso paso a paso para calcular las necesidades energéticas diarias y la distribución de macronutrientes, fundamental para la planificación dietética personalizada.

1. Cálculo del Peso Ideal

La fórmula para el peso ideal se presenta como:

(Talla en cm - 152) / 2.5 * 2.25 + 45

Este cálculo se realiza gradualmente, por partes.

2. Nivel de Actividad Física (NAF)

El NAF (Nivel de Actividad Física) es un factor multiplicador que ajusta el gasto energético según la intensidad de la actividad diaria. Los rangos son:

• Sedentario: 1.0 a 1.4
• Poco activo: 1.4 a 1.6
• Activo: 1.6 a 1.9
• Muy activo: 1.9 a 2.5

Ejemplo: NAF = 1.7

3. Cálculo

Ya estamos preparados para realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división de funciones, en la misma forma como se realiza en aritmética; lo diferente aquí es que trabajaremos con funciones. De manera que si tenemos dos funciones como f(x)=3x-2 y g(x) = x + 3, entonces, podemos sumarlas, restarlas, multiplicarlas y dividirlas, con la ayuda de las siguientes definiciones generales:

1 adición de funciones.
Si f y g son funciones, la suma f+ g es la función definida por (f+g)(x) =f (x) + g(x).
2 Sustracción de funciones.
Su diferencia f g es la función definida por (f-g)(x) = f(x) - g(x).
3 Producto de funciones.
El producto f g es la función definida por (f. G)(x) = f(x) • g(x).
(£)(x)-(x); 8(x)- 0
4 División de funciones.

1. Dominio de la función

El dominio Dom(f) se define como R - {valores que anulan el denominador}. Para hallar estos valores, iguala la ecuación del denominador a cero.

2. Simetría

• Par: si se cumple que f(-x) = f(x).
• Impar: si se cumple que f(-x) = -f(x).
• Si no cumple ninguna de las dos, la función no presenta simetría.

3. Puntos de corte

• Eje X: iguala toda la ecuación a 0.
• Eje Y: asigna el valor 0 a la variable x.

4. Asíntotas

• Horizontales: se calcula el límite de la función cuando x tiende a infinito.
• Verticales: se calculan los límites laterales en los puntos excluidos del dominio.
• Oblicuas: ocurren cuando el grado del denominador es exactamente una unidad menor que el del numerador.
  • m = lim (f(x) / x) cuando x → ∞
  • n = lim (f(x) - mx) cuando

Fundamentos de la Investigación Científica

1. El resumen constituye una versión concisa del planteamiento del problema, objetivos, métodos, resultados más importantes y conclusiones más relevantes.

   • a) Falso
   • b) Verdadero ✅

2. Son referencias utilizadas por el investigador para elaborar su marco teórico. Corresponde al concepto de:

   • a) Anexos
   • b) Apéndices
   • c) Bibliografía ✅
   • d) Todos

3. La evaluación previa del problema, sus alcances e importancia, así como los recursos que serán necesarios para el desarrollo del trabajo de investigación, se denomina:

   Respuesta: Evaluación de factibilidad o estudio preliminar.

4. Una síntesis del contenido esencial del informe es:

   • a) Resumen ✅
   • b) Apéndice
   • c) Índice

5. El método es la parte que describe cómo fue llevada

Para encontrar el rango de los datos, debemos encontrar el valor máximo y el valor mínimo, y luego restar el mínimo del máximo.

Valor máximo: 10
Valor mínimo: 4

Rango = Valor máximo - Valor mínimo
Rango = 10 - 4
Rango = 6

Por lo tanto, el rango de los datos es 6.

Para encontrar la media aritmética, debemos sumar todos los valores y dividir por el número total de valores.

Valores: 8, 4, 4, 5, 6, 5, 4, 4, 6, 6, 10

Suma: 8 + 4 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 4 + 6 + 6 + 10 = 62

Número total de valores: 11

Media aritmética = Suma / Número total de valores
Media aritmética = 62 / 11
Media aritmética = 5,64

Por lo tanto, la media aritmética es aproximadamente 5,64.

Para encontrar la desviación media, debemos seguir los siguientes pasos:

1. Calcular la media