Chuletas y apuntes de Matemáticas

Cuestión 1: Diferencia de Medias en la Prueba de Atención (Estudios Primarios vs. Secundaria)

Determinar si hay diferencia significativa entre las medias obtenidas por los sujetos que tienen estudios Primarios y los que tienen estudios de Secundaria, en la variable “Prueba de atención” (G), considerando solo a los sujetos casados/as y a los viudos/as.

Se trata de una prueba para **variables independientes** (dos grupos). Se asume inicialmente que es paramétrica. Se seleccionan los casos: A=2 | A=3.

Procedimiento Estadístico

• Método: Comparar medias: **Prueba T para variables independientes**.
• Nivel de estudios: Definir grupos (Grupo 1= 1 / Grupo 2=2).
• Variable de Prueba: Prueba de Atención (G).

Hipótesis y Resultados

• Hipótesis Nula (H₀)

El Plano Cartesiano: Estructura y Componentes

El Plano Cartesiano está conformado por dos rectas numéricas: una vertical y otra horizontal, las cuales se cortan en un punto denominado origen.

Definición de los Ejes

• La recta vertical se conoce como eje de las Yes (Y) o eje de las ordenadas.
• La recta horizontal se conoce como eje de las abscisas o de las equis (X).

Existen cuatro (4) cuadrantes, que permiten combinar o relacionar números positivos y negativos. El plano cartesiano permite describir posiciones o la relación entre esos números, las que se representan por coordenadas $(X; Y)$.

Restricción al Cuadrante I en Contextos Económicos

Solamente vamos a utilizar el Cuadrante I, donde tanto los valores de $X$ como los valores de $Y$ son positivos....

Lógica Proposicional

Lógica Proposicional

Es el **estudio** de los **argumentos** cuya **validez** depende de cómo estén conectados los **enunciados**, independientemente de su significado.

Argumento

Una **sucesión** de **proposiciones** cuyo propósito es la **implicación** de otra proposición.

Premisa

Sucesión de **proposiciones** que sirven como **evidencia**.

Conclusión

La **proposición inferida**.

Proposición

Es una **oración declarativa** que, en su significado, puede ser **Verdadera (V)** o **Falsa (F)**.

Variable

Es un **elemento no especificado** de un **conjunto de referencia**.

Forma Proposicional

Es una **expresión** que contiene una **variable** y que se transforma en **proposición** cuando se la sustituye por un elemento de un

Conversiones entre bases numéricas

Se presentan las conversiones entre distintas bases (binaria, octal, decimal y hexadecimal), con sus procedimientos y resultados corregidos. Se conservan todos los ejemplos originales y se aclaran los pasos.

a) Conversión de binario a decimal

Ejemplo: 10011

Se multiplica cada dígito por 2 elevado a la posición, empezando en 0 desde la derecha:

10011 = 1·2⁴ + 0·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19.

b) Conversión de binario fraccionado a decimal

Ejemplo: 1110,101

Parte entera: 1110 = 1·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 8 + 4 + 2 + 0 = 14.

Parte fraccionaria: ,101 = 1·2^-1 + 0·2^-2 + 1·2^-3 = 0,5 + 0 + 0,125 = 0,625.

Por tanto, 1110,101 (binario) = 14,625 (decimal).

c) Conversión de decimal a binario

Ejemplo:

Formulario Esencial de Cálculo Diferencial

Fórmulas Fundamentales de Derivación (Cálculo Univariable)

Donde c es una constante y u, v son funciones de x.

Reglas Básicas y Potencias

• Derivada de una constante: (c)' = 0
• Constante por función: (cu)' = c · u'
• Suma o Resta: (u ± v)' = u' ± v'
• Producto: (uv)' = u'v + uv'
• Cociente: (u/v)' = (u'v - uv') / v²
• Regla de la Cadena: f(g(x))' = f'(g(x)) · g'(x)

Funciones Potenciales e Inversas

• Potencia: (uⁿ)' = n · uⁿ⁻¹ · u'
• Inversa simple: (1/u)' = -u' / u²
• Inversa potencial: (1/uⁿ)' = -n · u' / uⁿ⁺¹
• Raíz cuadrada: (√(u))' = u' / (2√(u))

Funciones Exponenciales y Logarítmicas

• Exponencial natural: (eⁿ)' = eⁿ · u'
• Exponencial base a: (aⁿ)' = aⁿ · ln(a) · u'
• Logaritmo natural: (ln

Representación de una Función

Para representar gráficamente una función, se deben seguir los siguientes pasos:

• 1) Dominio: Determinar el conjunto de valores para los cuales la función existe.
• 2) Puntos de corte:
  • Con el eje Y (x=0).
  • Con el eje X (y=0).
  Con los números obtenidos, establecemos los puntos (x, 0) y (0, y).
• 3) Asíntotas:
  • Asíntota Vertical (AV): Se calcula el límite cuando x tiende al punto de discontinuidad. Si el resultado es infinito, se calculan los límites por la izquierda y por la derecha, observando los signos del infinito.
  • Asíntota Horizontal (AH): Se calcula el límite de la función cuando x tiende a infinito.
• 4) Crecimiento y decrecimiento: Se realiza la primera derivada de la función y se iguala a 0.
  • Si f'(x) > 0,

Básicos:

División: En estos momentos no estás dividiendo por un número entero, por lo que necesitas mover un punto decimal. Mueve un espacio y tienes ahora: 53,9 ÷ 11

El resto de la división es fácil porque como has aprendido al inicio de esta clase de matemáticas, para dividir un número decimal por un entero olvidas el punto decimal y luego lo vuelves a colocar en el resultado. Siguiendo con el ejemplo:

53,9 ÷ 11

539 ÷ 11

049

El resultado es 4,9

Fracciones:

Números decimales. Un número decimal es un número no entero, compuesto por una parte entera y una parte decimal, y se usan cuando queremos representar números que son más pequeños que la unidad. Por ejemplo, 0,5 es un número decimal, y es más pequeño que la unidad, ya que se

Teorema de Gauss

Sean y dos subconjuntos abiertos en , donde es simplemente conexo y el borde de , es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.

Sea , un campo vectorial de clase , es decir, cuenta con derivadas parciales de primer orden continuas.

Entonces:

Las tres identidades de Green

PRIMERA: Esta identidad se deriva del teorema de la divergencia aplicado a un campo vectorial .

Si es una función continuamente diferenciable de clase C² y es otra función continuamente diferenciable, pero de clase C¹ en una región U, entonces:

SEGUNDA: Si y son funciones continuamente diferenciables de clase C² las dos en U, entonces:

TERCERA:

La tercera identidad de Green se obtiene a partir de la segunda particularizando la función a:

En este...

Definición de la integral

1 Construcción de la integral

Definición 1

Sea [a, b] un intervalo. Una partición de [a, b] es un conjunto finito de puntos {x₀, x₁, . . . , x_n} tal que a = x₀ < x₁ < . . . < x_n = b. Usualmente, se denota por P := {x₀, x₁, . . . , x_n}.

Propiedades

Sea P := {x₀, . . . , x_n} una partición de [a, b]; esta define n subintervalos [x_i, x_i+1] para todo i = 0, . . . , n−1 que dividen a [a, b]. Además, se cumple que:

Σ_i=0^n-1 (x_i+1 − x_i) = b − a

Notación

Sea f : [a, b] → R acotada y P una partición de [a, b]. Definimos los siguientes valores:

• 1. m = inf{f(x) | x ∈ [a, b]}
• 2. M = sup{f(x) | x ∈ [a, b]}
• 3. m_i = inf{f(x) | x ∈ [x_i, x_i+1]} para todo i = 0, . . . , n − 1
• 4. M_i = sup{f(x) | x ∈ [x_i, x_i+1]}

Conceptos Fundamentales en Álgebra y Teoría de Números

Álgebra de Boole y Retículos

Teorema de Estructura de las Álgebras de Boole Finitas

Sea (L, ∨, ∧) un álgebra de Boole finita y M el conjunto de todos los átomos de L. Entonces L es isomorfo al álgebra de Boole (P(M), ∪, ∩).

Retículo

Un retículo es una terna (L, ∨, ∧) donde L ≠ ∅ es un conjunto y ∨, ∧ son dos operaciones internas en L verificando las propiedades:

• Asociativas
• Conmutativas
• De Idempotencia
• De Absorción

Teoría de Números y Notación Asintótica

Teorema Chino del Resto

Sean a₁, a₂, ..., aₙ ∈ ℤ y p₁, p₂, ..., pₙ ∈ ℤ tales que (pᵢ, pⱼ) = 1 si i ≠ j. Entonces:

1. Existe a ∈ ℤ tal que a ≡ aᵢ mod pᵢ, para todo i = 1, 2, ..., n.