Chuletas y apuntes de Matemáticas de Otros cursos

Trigonometría Fundamental

Teorema de Pitágoras

• Definición: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa c es igual a la suma de los cuadrados de los catetos a y b.
• Fórmula: a² + b² = c²
• Uso: Calcular la longitud de un lado de un triángulo rectángulo cuando se conocen los otros dos lados.

Funciones Trigonométricas (Seno, Coseno, Tangente)

• Aplicación: Solo se aplican a triángulos rectángulos.
• Definiciones:
  • Seno (sen): $\text{sen}(\theta) = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}$
  • Coseno (cos): $\text{cos}(\theta) = \frac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}}$
  • Tangente (tan): $\text{tan}(\theta) = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Adyacente}}$
• Uso:
  • Encontrar la longitud de un lado conociendo un ángulo agudo

Centro de masa y momento de inercia

Del centro de masa de un sólido rígido: punto respecto al cual, para cada dirección, corresponde un momento de inercia mínimo.

Condición de equilibrio bajo tres fuerzas

Para que un sólido rígido esté en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas:

• Las fuerzas deben ser coplanares, o la resultante vectorial debe ser nula.

Teorema de Pappus y superficies

Posición del centro de masa de una superficie semiesférica: no se puede calcular mediante el teorema de Pappus-Guldinus, ya que la superficie no es plana. Por tanto, el teorema a emplear en este caso es: ninguno (superficie no plana).

Rectas, direcciones y centro de masa

Si tenemos un sólido rígido, una dirección u y una recta paralela a u, podemos afirmar:

Sección 1

1. Sudoración excesiva y diarrea
2. Hidrógeno
3. Hiperemia activa
4. Receptores SNC
5. Trombo
6. D
7. B
8. H
9. C
10. G
11. Falso
12. Falso
13. Verdadero
14. Falso
15. Falso
16. Hipo-osmótica
17. Aumento / El líquido extracelular
18. Púrpura
19. Anasarca
20. Trombosis
21. B
22. A
23. E
24. D
25. A
26. Falso
27. Verdadero
28. Falso
29. Falso
30. Falso

Sección 2

1. La ingesta y la excreta
2. El sistema amortiguador del bicarbonato
3. Angiotensina II
4. Aumento / Líquido extracelular
5. Estasis
6. E
7. A
8. D
9. A
10. C
11. Verdadero
12. Falso
13. Falso
14. Falso
15. Falso
16. Péptido auricular natriurético
17. Sudoración excesiva y diarrea
18. Base / Iones de hidrógeno
19. Aumento / Líquido extracelular
20. Potasio
21. G
22. C
23. F
24. E
25. A
26. Falso
27. Falso
28. Falso
29. Verdadero
30. Falso

Sección 3

1. Hipo-osmótica
2. Aumento de ADH / Aumenta el volumen
3. Base / Iones de hidrógeno
4. CO2 del líquido extracelular
5. Hiperemia pasiva
6. E
7. A
8. A
9. B
10. G
11. Falso
12. Falso
13. Falso
14. Verdadero
15. Falso

Sección 4

1. Hipo-osmótica
2. Aumento de ADH /

Dominio y Rango de Funciones Comunes

A continuación, se presenta una tabla resumen para determinar el dominio y el rango de las funciones más habituales en matemáticas.

El Contraste de White

El contraste de White es un test general de heterocedasticidad que permite detectar si la varianza condicional del error, Var(u_t | X_1t, X_2t, X_3t), es constante o depende de los regresores (incluyendo posibles relaciones no lineales). Es un contraste no paramétrico en el sentido de que no impone una forma funcional específica para la heterocedasticidad.

La idea fundamental consiste en:

• a) Estimar el modelo por MCO y obtener los residuos û_t.
• b) Regresar û²_t sobre los regresores, sus cuadrados y productos cruzados (regresión auxiliar).
• c) Usar el estadístico LM = nR² (siendo R² el de la auxiliar) para contrastar la homocedasticidad.

2. Realización del Contraste de White

Considerando los valores R²_e = 0,42 y n = 100:

• Paso 1:

Ikerketa: Zutarrien Hilketak

1. Bretxagain Mendiko Aurkikuntza

• Leire Asiain eta Alberro Bretxagain mendira igo dira.
• Gorpu biluztu bat aurkitu dute, zutarriari katez lotuta.
• Gorpua erdi janda dago, putreek eta hotzak markatua.
• Rifa doktorearen txostena: biktima bizirik eraman zuten; besoan gasolina duen xiringa bat aurkitu da.
• Odolik ez dago, elurrak estali du dena.
• Bigarren gorpu bat agertzen da inguruko mendian.
• Bi gertaera oso antzekoak dira, erritu moduan egindakoak.
• Leirek sentitzen du kasu hau ez dela ohikoa.
• Giro iluna, beldurgarria, tentsioz betea.
• Aurresan sinbolikoa: “Zerbait handia hasi da.”

2. Ainhoa Urtasunen Desagerpena

• Ainhoa Urtasun, 10 urte inguruko neskatxa, ikastolatik desagertzen da.
• Aita: Ander Urtasun, ETAko kide ohia.
• Ama, Miriam,

Posició Relativa de Tres Plans

Es fa sempre amb tres equacions de plans, en la seva forma general:

π₁: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

π₂: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

π₃: A₃x + B₃y + C₃z + D₃ = 0

Plans que es Tallen en un Punt (SCD)

Rang(M) = Rang(M*) = 3. Hi ha excepcions que es detallen a continuació.

Plans amb Solució Compatible Indeterminada (SCI)

Casos de SCI amb Rang 3

Es tallen dos a dos. Dos plans paral·lels tallen el tercer.

Casos de SCI amb Rang 2

Plans Incompatibles (SI)

Rang(M) = 1, Rang(M*) = 2

Tres plans paral·lels. Dos plans coincidents i paral·lels al tercer.

Plans Coincidents (SCI amb Rang 1)

Rang(M) = Rang(M*) = 1

Tres plans coincidents.

Posicions Relatives

1.El antecesor de -4 es:
D-5
2.¿Cual es la afirmación correcta?
D-+6>-78
3.Ordenados a de mayor a menor
C--2,-7,-11,-20,-25
4.Un n sin signo es
C-Positivo
5.Sucesor de +100 es:
B-99
6.Mayor que -15 es:
B- -12
7.Un n menor q cero es:
C-Negativo
8.La serie -12,-8,-4,sigue con:
B. 0,+4,+8,+12
9.Entre -5 y +8 esta:
C- -2
10.Al sumar enteros d igual valor absoluto y signo contrario.
D.Cero se obtiene
   ++--Verdadero y Falso----++
A) V -El antecesor de un n negativo es otro n negativo.
B) V -Entre dos n negativos es menor el de mayor V.Absoluto
C) F -Al sumar enteros de signos diferentes el resultado es negativo "Depende de el V.Absoluto"
D) F -Todos los n enteros tienen signo y V.Absoluto "Cero no tiene SIGNO"
E) V-En la multi t divi se utiliza la misma regla... Continuar leyendo "Ejercicios Fundamentales de Números Enteros: Operaciones y Aplicaciones" »

I. Ecuaciones Simultáneas y Endogeneidad

El problema central en la estimación de sistemas de ecuaciones es la endogeneidad por simultaneidad, donde $\text{Cov}(X, \text{error}) \neq 0$. Esto provoca que el estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO u OLS) sea sesgado e inconsistente.

Identificación y la Condición de Orden

Para estimar correctamente, se requiere la Identificación, sujeta a la Condición de Orden:

$$K_{\text{excl}} \geq G_{\text{incl}} - 1$$

• $K_{\text{excl}}$: Número de variables exógenas excluidas de la ecuación específica.
• $G_{\text{incl}}$: Número de variables endógenas incluidas en la ecuación específica.

Según el resultado de esta condición:

• Si $K_{\text{excl}} < G_{\text{incl}} - 1$: El sistema está subidentificado