Chuletas y apuntes de Matemáticas de Otros cursos

Introducción a la Ciencia y la Estadística

Ciencia

La ciencia combina el método empírico (basado en la observación de la realidad) con el método hipotético-deductivo (basado en la lógica y la formulación de hipótesis).

Estadística

La estadística se encarga de analizar datos muestrales para realizar inferencias sobre una población.

• Estadística Descriptiva: Se enfoca en describir y resumir las características de una muestra.
• Estadística Inferencial: Permite generalizar los hallazgos de una muestra a la población de la que fue extraída.

La probabilidad actúa como el puente que conecta la muestra con la población.

Conceptos Fundamentales en Estadística

Población y Muestra

• La población es el conjunto total de elementos o individuos

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Se dice que una función f(x, y) es homogénea si, al multiplicar las variables x e y por un factor t, es posible describir a la función original por la variable t elevada a la potencia n. De acuerdo al exponente que tenga la variable t (es decir, el exponente n), se determina que es una función de grado n.

Entonces, una función f(x, y, ..., w, ...) = 0 es homogénea de grado n si, para todo valor positivo t, se verifica dicha condición. Partiendo de la forma:

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0

Esta es homogénea si y solo si P y Q son funciones homogéneas del mismo grado. Si dividimos toda la expresión por Q(x, y), obtenemos:

[P(x, y) / Q(x, y)] dx + [Q(x, y) / Q(x, y)] dy = 0

Simplificación y Cambio de Variable

Al... Continuar leyendo "Ecuaciones Diferenciales Homogéneas: Definición, Resolución y Propiedades" »

Lógica Proposicional: Formalización y Equivalencias

Ejercicio 1: Formalización de Enunciados Condicionales

1. Formalizar los enunciados:

Si hace frío, él lleva bufanda.

• Sea p: hace frío
• Sea q: él lleva bufanda
• Formalización: p → q

Equivalencias Lógicas:

• Inversa: “Si no hace frío, entonces él no lleva bufanda.” ~p → ~q
• Recíproca: “Si él lleva bufanda, entonces hace frío.” q → p
• Contrapositiva: “Si él no lleva bufanda, entonces no hace frío.” ~q → ~p

Ejercicio 2: Formalización de Enunciados con “Solo si”

Solo si Rafael estudia, aprobará el examen.

• Sea p: Rafael estudia
• Sea q: Rafael aprobará el examen
• Formalización: q → p (o p ← q)

Equivalencias Lógicas:

• Inversa: “Si Rafael no aprueba el examen, entonces no estudia.

Artearen eta Literaturaren Definizioa: Eraikuntza Soziala

Artearen eta literaturaren definizioak ez dira objektiboak edo aldaezinak, baizik eta gizartearen, kulturaren eta erakunde akademikoen erabakien araberako eraikuntza sozialak.

Artearen definizio aldakorra (Jimenez)

Jimenezen arabera, artearen definizioa ez da finkoa, baizik eta aldakorra eta garai bakoitzeko ikuspegien araberakoa. Artea, bere esanetan, desiraren eta jabetzaren objektua izan da beti. Garai batean elite edo botere publikoen eskuetan zegoena, gaur egun edonoren esku egon daiteke, erreprodukzio teknikoari esker. Horrek esan nahi du artearen kontzeptuak demokratizazio prozesu bat jasan duela, baina horrek ez du esan nahi edozerk balio duenik artetzat.

Gaur egun artea izendatzen... Continuar leyendo "Artearen eta Literaturaren Definizio Sozial eta Instituzionala" »

Variables y Métodos de Muestreo en Investigación

Clasificación y Tipos de Variables

En la metodología de investigación, las variables se clasifican según su naturaleza y su función dentro del diseño del estudio:

• Variables Cualitativas (CUAL): Se expresan mediante palabras o categorías. Responden a las preguntas de ¿cómo? y ¿por qué?. Se caracterizan por trabajar con muestras pequeñas y seguir un enfoque inductivo e interpretativo. Entre sus técnicas principales se encuentran las entrevistas, los grupos de discusión y la etnografía. Ejemplo: Tuchman (1978) sobre el funcionamiento de las redacciones de noticias.
• Variables Cuantitativas (CUANT): Se expresan mediante números y responden a la pregunta de ¿cuánto?. Utilizan muestras

A)

1. Aukeratu zuzena ez den aldagai kuantitatibo baten adibidea: Begien kolorea

2. Ze estadistiko erabiltzen da aldagai kualitatibo batekin: Maiztasunak

3. Grafika batean, aldagai independentea jartzen da: Ardatz horizontalean

4. Hurrengo aldagaietan, zein ez da kuantitatiboa: Ordinala

5. Zein da poblazio baten tamaina adierazteko forma (adierazpen letra): N

6. "Poblazio baten zati adierazgarri bat da": Lagina

7. Hurrengo grafikotik, zein ez da erabiltzen aldagai kualitatiboekin: Histograma

8. Aurreko pasuetatik zein ez da beharrezkoa maiztasun taula bateko interbaloa (tarteak) egiteko: Aldagaiaren maiztasun metatua kalkulatzeko

9. Desbideratze tipikoaren ezaugarria da (aukeratu zuzena ez den erantzuna): -1 eta 1 baloreak hartzen ditu

10. Aurreko pausuetatik

Globalizazioa eta Nazioarteko Harremanak

Gaurko globalizazioari buruzko ideia hauetako bat ez da zuzena:

• c) Aurrerapen zientifiko eta teknologikoaren ondorio hutsa da, eta, beraz, neutrala da arlo ideologiko edo politikoan.

Segurtasuna eta Teoria Politikoa

Nazioarteko harremanetan segurtasuna aztergai garrantzitsua izan da, baina korronte bakoitzak badu bere iritzia horren inguruan. Zein da egia?

• b) Estrukturalismoak dio: gerra eta segurtasuna ez dira izan behar nazioarteko harremanetako azterketen ardatza, mundu mailako desberdintasuna eta azpigarapena baizik.

Enfoke Teorikoak eta Analisia

Enfoke teoriko batzuen analisiak batez ere faktore materialetan oinarritzen dira, eta beste batzuenak, aldiz, faktore ideologikoetan. Hori kontuan harturik, esan

Primer Parcial: Optimización del Consumidor y Demanda Marshalliana

Pasos para la Derivación de la Demanda Marshalliana

1. Derivar la Utilidad Marginal (UMg) respecto a "X" y "Y".
2. Con las utilidades marginales, calcular la Tasa Marginal de Sustitución (TMS), que es el cociente entre la UMg de X y la UMg de Y (UMgX / UMgY).
3. Establecer la condición de eficiencia: igualar la TMS a la relación de precios (Px/Py). Despejar una de las variables (X o Y) en función de la otra y los precios.
4. Sustituir la expresión obtenida en la restricción presupuestaria: Px·X + Py·Y = I (donde I es el ingreso).
5. Resolver la ecuación para obtener la Demanda Marshalliana de X (X*).
6. Sustituir la expresión de X* en la condición de eficiencia para obtener la Demanda Marshalliana

Divisores de cero en un anillo

 Dado un anillo  (A, +, ●), un divisor de cero es un elemento a, distinto de cero, tal que, al multiplicarlo por un elemento b, también distinto de cero, el resultado es cero. Esto es: a ∈ A-{0}   Ǝb∈A-{0}  tal que a●b 0//Irreducibles un polinomio, p(X), (no nulo, no unidad) es irreducible sii toda descomposición en A[x] de la forma p(X)=q(x)r(x) verifica que q(X) es unidad o r(X) es unidad//Permutación 
Sea S={1,2…n} un conjunto finito. Una permutación es una aplicación biyectiva de S en sí mismo.//Inversa 
Sea σ una permutación. Una permutación σ -1 será su inversa si y sólo si: 

σ · σ -1  = Id

Subespacio vectorial

Sea V un espacio vectorial sobre K, U un subconjunto no vacío de... Continuar leyendo "Diccionario de Conceptos Clave de Álgebra Lineal y Estructuras Algebraicas" »

Teorema del residu de Taylor (forma de Lagrange)

Enunciat: Sigui I un entorn del punt a, i sigui f : I → R una funció (n+1)-vegades derivable a I. Sigui P = P_{n,f,a} el polinomi de Taylor d'ordre n al voltant de a. Sigui x pertanyent a I. Aleshores existeix λ entre a i x tal que

R_n(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(λ)/(n+1)! · (x-a)ⁿ⁺¹.

Demostració

Suposem, sense pèrdua de generalitat, que a < x. Per cada t pertanyent a [a,x] podem escriure la fórmula de Taylor centrada en t:

f(x) = f(t) + f'(t)(x-t) + ··· + f

(n)(t)/n!·(x-t)ⁿ + R_{n,f,t}(x) = P_{n,f,t}(x) + R_{n,f,t}(x).

Fixem x i definim S(t) = f(x) - P_{n,f,t}(x) = R_{n,f,t}(x). Per construcció S(x) = 0 i S(a) = R_{n,f,a}(x). Com que f és (n+1)-vegades derivable, S és derivable i

S'(t) = -d/dt P_... Continuar leyendo "Teoremes clau de càlcul: Taylor, Lagrange, Cauchy i Rolle" »