Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

ANALISIA

Azterketa hasi baino lehen, testua hobeto ulertzen lagunduko diguten zenbait termino argituko ditugu: "Librekanbismoa" (doktrina ekonomikoa, protekzionismoaren aurkakoa, Estatuaren esku-hartzerik gabe), "Trakzio-materiala", "Trakzio-materiala" (lokomotorak …).

·  Federico Echevarria Rotaeche: enpresa gizona, politikaria, polifazetikoa izan zen, besteak beste, Aceros Echevarriaren sortzailea izan zen 1878an. Librekanbismoaren kontrako eta protekzionismoaren aldeko jarrera defendatzailea izan zen, baita Euskal Ekoizleen Elkartearen kidea eta presidentea ere. Bizkaiko diputatu eta senatari liberala hautatu zuten.

·  Protekzionismoa: Ekonomian, protekzionismoa estatu bateko gobernuak produktu edo sektore ekonomiko jakin batzuei ematen

ERRORES

Error relativo

Error absoluto

Racionalización

Racionalización del tipo

Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador

Racionalización del tipo 

Se multiplica numerador y denominador por 

Racionalización del tipo 

Se multiplica el numerador y el denominador por

SUCESIONES

Progresiones aritméticas

An = a1 + (n - 1) d

Suma de los términos de una progresión aritmética

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Progresiones geométricas

a_n = a₁ × r^n-1

Suma y producto de los términos de una progresión geométrica

Interpolación de términos en una progresión geométrica

Logaritmos:

LogaB=X...a^x=B

Log a*b= loga+logb

Loga/b=loga-logb

logx^a=alogx

Trigonometria:

sen^2+cos^2=1  1+cotg^2=cosec^2  tg^2+1=sec^2

sen(a+b)=senAcosB+cosAsenB 

cos(a+b)=cosAcosB+senAsenB

tg(a+b)=sen(a+b)/cos(a+b)=seAcosB+cosAsenB/cosAcosB+senAsenB=tgA+tgB/1-tgAtgB

sen(a-b)=sen(a+(-b))=senAcos(-B)+cosAsen(-B)=senAcosB+cosAsen(-B)=senAcosB-cosAsenB

cos(a-b)=cos(a+(-b))=cosacos(-B)-senasen(-B)=cosAcosB-senA(-senB)=cosAcosB+senAsenB

tg(a-b)(tga+(-b))= tgA+tg(-b)/1-tgAtg-B=tgA+(-tgB)/1-tgA(-tgB)=tgA-tgB/1+TgAtgB

sen2a=sen(a+a)=senAcosA+cosAsenA=2senAcosA

cos2a=cos(a+a)=cosAcosA-senAsenA=cos^2A-sen^2A

tg2A=tg(a+a)=tgA+tgA/1-tgAtgA=2tgA/1-tg^2A

senA+senB=sen(a+b)+sen(a-b)=sanAsanB+cosAcosB+senAcosB-cosAsenB=2senAcosB=2sen(A+B/2)cos(A-B/2)

Teorema del coseno:... Continuar leyendo "Trigonometría del 1" »

1. La derivada de una constante es 0                               

1. La derivada de una variable con respecto a sí misma es igual a la unidad. 
   
   
2. La derivada de la suma algebraica de un número finito “n” de funciones es igual a la suma algebraica de la derivada de las funciones.
   
    
   
   
3. La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.
   
   
4. La derivada de un producto de 2 funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda mas el producto de la segunda función por la derivada de la primera.
   
    
   
5. La derivada de la potencia de una función de un exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada

Eboluzioaren teoriak: Eboluzionismoa eta Fixismoa aurrez aurre egon ziren.

Eboluzioaren Teoriak

Fixismoak dio espezie guztiek, sortu zirenetik, ez dutela inolako aldaketarik jasan.

Eboluzionismoaren arabera, unibertsoa eta izaki bizidun mota guztiak garapenaren emaitza dira, eta espezieen aniztasuna egokitzapenaren ondorioa da.

Lamarckismoa

Eboluzio biologikoaren lehen teoria izan zen. Teoriaren oinarriak honako hauek dira:

• Organismo sinpleetatik konplexuetarainoko prozesua oso geldoa da.
• Ingurumenari moldatzeko aldaketak gertatzen dira.
• Organismoek bete behar dituzten funtzioen ondorioz izango da.
• Karaktereak heredatu egiten dira, ingurumenari moldatzeko arazorik ez izateko (hau ezin izan zuen Lamarckek frogatu).

Darwinismoa

Galapagos eta Hego Amerika... Continuar leyendo "Eboluzioaren Teoriak eta Gizakiaren Jatorria" »

Estadística Descriptiva e Inferencial

La estadística descriptiva tiene como función principal describir datos. Los métodos que utiliza son: recolección, presentación y análisis de datos.

Por otro lado, la inferencia estadística tiene como fin primordial predecir y, en base a la información muestral, sacar conclusiones respecto a la población en su totalidad.

Conceptos Básicos

• Población: Es la totalidad de personas, elementos o cosas que tienen una característica común observable en un momento y lugar determinado.
• Muestra: Parte representativa de la población que es usada para lograr información. Se puede obtener por distintos tipos de muestreos: simple al azar, estratificado, sistemático y por conglomerado.
• Parámetro: Medida de

Estudio de la derivabilidad en una función definida a trozos

Para estudiar la derivabilidad, primero debemos comprobar si la función f es continua en x=a. Si no lo es, no será derivable. Posteriormente, calculamos los límites laterales de la derivada:

• f'(a-) = lim f1(x) (cuando x tiende a a-)
• f'(a+) = lim f2(x) (cuando x tiende a a+)

Si ambos límites existen y son iguales, f es derivable en x=a y ese valor es la derivada. En caso contrario, no es derivable.

Crecimiento y Curvatura

Crecimiento

1. Dominio.
2. Cálculo de la derivada (f').
3. Igualar f'(x)=0.
4. Establecer intervalos, puntos de control, signo de f' y comportamiento de la función (crece o decrece).

Curvatura

1. Dominio.
2. Cálculo de la segunda derivada (f'').
3. Igualar f''=0.
4. Establecer intervalos, puntos

Proporcionalidad

Se denomina razón al resultado de la comparación de dos cantidades (términos). Se llama proporción a la igualdad de dos razones (a/b = c/d).

Cuarto Proporcional

El segmento X que es el cuarto proporcional a tres segmentos conocidos (a/b = c/x).

Tercero Proporcional

Se denomina proporción continua aquella en la que los medios o los extremos se repiten (a/b = b/c).

Medio Proporcional

Cuando en una proporción continua se desconoce el término repetido (medio proporcional) (a/x = x/b) o (x² = ab).

Semejanza Geométrica

Cuando tienen sus ángulos iguales y lados proporcionales. La razón de semejanza es la relación que guardan los puntos y líneas que están en la misma dirección relativa.

Criterios de Semejanza de Triángulos

• Dos

Lecer Medieval: Espectáculo Trobadoresco

A lírica medieval naceu como unha forma cantada, como un espectáculo que se desenvolvía durante as veladas celebradas nos pazos dos reis e grandes señores. A guerra era o verdadeiro "oficio" da aristocracia. A caza, a celebración de xustas e torneos foron ocupacións fundamentais para as horas de lecer, pero debido a que non sempre se podían facer estas cousas polo tempo, buscaron outros divertimentos que puidesen realizarse nos seus pazos e castelos. O mundo trobadoresco nace na celebración de festas e reunións durante as cales se cantaba e danzaba. Era unha lírica culta, propia dos ambientes aristócratas, polo tanto era unha lírica culta.

Cancioneiros: Transmisión do Lirismo Medieval

Coñecemos... Continuar leyendo "Lírica Medieval: Cancioneiros e Contexto Histórico" »

Conceptos Fundamentales de Álgebra y Ejercicios Resueltos

Expansión y Factorización de Expresiones Algebraicas

Binomio al Cuadrado y al Cubo

Fórmulas:

• (a+b)² = a² + 2ab + b²
• (x+y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Ejemplos:

• (1 + 3x²)² = 1 + 6x² + 9x⁴
• (2x + 1)³ = 8x³ + 12x² + 6x + 1
• (m + 3)² = m² + 6m + 9
• (a + 2)³ = a³ + 6a² + 12a + 8

Factor Común Monomio

Ejemplos:

• a² + ab = a(a + b)
• 4x² – 8x = 4x(x – 2)
• 2a²x + 6ax² = 2ax(a + 3x)
• x²y + x²z = x²(y + z)
• 3a³ – a² = a²(3a – 1)
• x³ – 4x⁴ = x³(1 – 4x)

Factor Común Polinomio

Ejemplos:

• a(x+1) + b(x+1) = (x + 1)(a + b)
• 3x(x-2) - 2y(x-2) = (x – 2)(3x – 2y)
• 2(x - 1) + y(x - 1) = (x – 1)(2 + y)
• 2x(n - 1) – 3y(n – 1) = (n - 1)(2x – 3y)
• 2(x - 1) + y(x - 1) = (x – 1)(2 + y)
• m(a – b) + (a – b)n = (a – b)(