Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Zergatiak

Testu hau idazteko zergatiak hauek dira:

• Lan- eta bizi-baldintza penagarriak: Lan-jardunaldi luzeak eta erregulatu gabeak (12-14 ordu egunean, 6-7 egun astean).
• Soldata baxuak: Eguneko kobratzea, erosteko ahalmen txikiarekin.
• Enpresen kontrola: Langileak enpresek inposatutako lekuetan erosi, kontsumitu eta lo egitera behartuta zeuden, merkatu librean baino garestiago.
• Bizi-baldintza kaskarrak: Etxebizitza gutxi eta kalitate txarrekoak, elikadura eskasa eta Estatuaren babesik eza.

Idazlearen kontzientzia soziala eta politikoa: Bizkaiko meatzarien eta langileen egoera larriaz oharturik, hura ezagutarazi eta salatzeko beharra sentitu zuen.

Ondorioak

Industrializazioa aurrera joan zen, beharrezkoak ziren kapitalak, merkatuak, teknologia eta eskulana... Continuar leyendo "Langile-mugimenduaren jatorria eta bilakaera Bizkaian" »

Rectas en el Espacio

Las rectas pueden ser definidas de varias maneras:

• Por un punto y un vector director: Un punto P(x₀, y₀, z₀) y un vector director V_r(v₁, v₂, v₃).
• Por dos puntos: Dos puntos P₁(x₁, y₁, z₁) y P₂(x₂, y₂, z₂), donde el vector director V_r = P₁P₂.

Ecuaciones de la Recta

• Vectorial: (x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + λ(v₁,v₂,v₃)
• Paramétrica:
  x = x₀ + λv₁
  y = y₀ + λv₂
  z = z₀ + λv₃
• Continua: (x - x₀)/v₁ = (y - y₀)/v₂ = (z - z₀)/v₃
• General o Implícita: Representa la recta como la intersección de dos planos.
  A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0
  A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Planos en el Espacio

Los planos pueden ser definidos de varias maneras:

• Por un punto y dos vectores directores: Un

Medi ambient: conceptes bàsics

Medi ambient: conjunt de components físics, químics, biològics i socials capaços de causar efectes directes o indirectes, a curt o llarg termini, sobre els éssers vius i les activitats humanes. L'efecte dominant són les repercussions en cadena com a conseqüència d'alteracions difícilment previsibles. L'estudi del medi ambient és interdisciplinari, ja que abasta temes que han de ser vistos des dels punts de vista de diferents disciplines: ecologia, economia, sociologia.

Enfocament analític i sistèmic

Enfocament analític: aïlla el problema i el divideix en components més simples. No serveix per a problemes complexos on les parts interactuen.

Enfocament sistèmic: dona una visió d'conjunt sense parar-... Continuar leyendo "Medi ambient: sistemes, models i recursos naturals" »

ROC de la Transformada Z

• P1: La ROC de X(z) consiste en un anillo en el plano z centrado alrededor del origen.
• P2: La ROC no contiene ningún polo.
• P3: Si x[n] es de duración finita, entonces la ROC es el plano z completo, excepto posiblemente en z=0 y/o z=∞.
• P4: Si x[n] es una secuencia derecha y si el círculo |z|=r₀ está en la ROC, entonces todos los valores finitos de z para los cuales |z|>r₀ también estarán en la ROC.
• P5: Si x[n] es una secuencia izquierda y si el círculo |z|=r₀ está en la ROC, entonces todos los valores z para los cuales 0<|z|<r₀ también estarán en la ROC.
• P6: Si x[n] es bilateral y si el círculo |z|=r₀ está en la ROC, entonces esta consistirá en un anillo en el plano z que incluye al círculo |z|=r₀.
• P7:

Conceptos Fundamentales de Estadística

La Estadística es la ciencia que se encarga de la recopilación, organización, presentación, análisis e interpretación de datos para la toma de decisiones.

Elementos Clave en Estadística

• Población: Conjunto total de individuos, objetos o eventos bien definidos sobre los cuales se desea estudiar una característica específica.
• Marco Muestral: Es la lista o registro de todos los elementos de la población de la cual se puede obtener información.
• Muestra: Un subconjunto representativo y aleatorio de la población, seleccionado del marco muestral, del cual se recolectará la información. Es crucial que sea representativa para que las conclusiones sean válidas para la población.

Variables Estadísticas

Una... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Estadística Descriptiva: Términos Clave y Medidas" »

Dominio de funciones

• Polinómicas: Dom f(x) = ℝ.
• Racionales: Dom f(x) = ℝ - {resultado de la ecuación del denominador}.
• Radicales: Inecuación con el radicando ≥ 0. El dominio será el intervalo resultante.

Representación gráfica de funciones cuadráticas

Para representar una función cuadrática, seguimos estos pasos:

1. Hallar el vértice (V): Calculamos primero Vx = -b/2a. Luego, sustituimos este valor en la función para obtener Vy.
2. Puntos de corte: Hallamos el punto de corte con el eje X (haciendo y=0) y el punto de corte con el eje Y (haciendo x=0).

Operaciones con funciones

• Funciones inversas: Intercambiamos las variables X e Y y despejamos la incógnita Y.
• Composición de funciones (F ∘ G): Sustituimos la función G en cada valor de la

Propiedades de la Función de Probabilidad y Distribución

Función de Probabilidad (para variables discretas):

• f(x_i) está entre 0 y 1.
• La suma de todas las f(x) es igual a 1: Σ f(x) = 1.

Función de Distribución:

• F(X) está entre 0 y 1.
• f(x) es no decreciente.
• f(a) ≤ f(b).
• f(a) = Σ f(a) (y lo mismo para b).

Esperanza y Varianza: Definiciones y Propiedades

Esperanza (E(x)): Media ponderada de los posibles resultados, donde el coeficiente de ponderación de cada resultado es su probabilidad.

E(x) = Σ [f(X) * x]

Propiedad de Linealidad de la Esperanza:

E(ax + b) = aE(x) + b

Demostración:

E(ax + b) = (ax₁ + b) f(x₁) + ... + (ax_n + b) f(x_n)

= ax₁ * f(x₁) + ... + ax_n * f(x_n) + b f(x₁) + ... + b f(x_n)

= a(x₁ * f(x₁) + ... + x_n * f(x_n)) + b(f(x₁) + ... +... Continuar leyendo "Propiedades y Fórmulas Clave de Probabilidad: Variables Aleatorias Discretas y Continuas" »

Càlcul del Vector Unitari

Per obtenir un vector unitari, considerem el mòdul a = c. Si tenim el vector a(x, y), el vector unitari serà a(x/c, y/c).

Operacions amb Vectors: Multiplicacions

• Producte escalar: a · b = (x1, y1) · (x2, y2) = x1·x2 + y1·y2. El resultat és un número.
• Multiplicació per un escalar: 2 · a = 2(x, y) = (2x, 2y). El resultat és un vector.

Càlcul de Punts i Vectors

Trobar un punt d'un vector

Exemple: (6, k) = x(5, -1). Per resoldre-ho: 6 = 5x i k = -x, per així saber la solució de k.

Trobar el vector entre dos punts

Donats els punts A(x1, y1) i B(x2, y2), el vector es calcula com: AB = B - A.

Propietats i Tipus de Vectors

Trobar un vector equipol·lent

Els vectors equipol·lents tenen mòduls iguals: mòdul a = k · mòdul

Operaciones con Monomios y Polinomios

Definición 3.6: Para multiplicar o dividir dos monomios, se multiplican o dividen sus coeficientes y se suman o restan los exponentes de las partes literales iguales, respectivamente. Se pueden multiplicar o dividir dos monomios que no sean semejantes.

Definición 3.9: Para multiplicar dos polinomios se va multiplicando cada monomio del primer factor por cada uno de los monomios del segundo factor y a continuación se reducen los términos semejantes.

MCD y MCM de Polinomios

MCD y MCM de polinomios: Para calcular el m.c.d y m.c.m de dos o más polinomios se procede de la siguiente manera:

1. Se factorizan ambos polinomios.
2. El m.c.d es igual al producto de todos los factores comunes de los polinomios afectados del