Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

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Aplicación del Teorema del Coseno y Simplificación de Funciones Trigonométricas

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Simplificación de Expresiones Trigonométricas

A continuación, se presenta el desarrollo detallado paso a paso para simplificar una diferencia de funciones trigonométricas utilizando identidades de suma y resta de ángulos.

  • Paso 1: Expansión del primer término

    Utilizando la identidad del seno de la suma, expandimos la primera expresión:

    $$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\sin(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x)$$

  • Paso 2: Expansión del segundo término

    De igual manera, expandimos la segunda expresión utilizando la identidad del seno de la resta:

    $$\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) - \frac{1}{2}\sin(x)$$

  • Paso 3: Resta de las expresiones

    Restamos la segunda expresión de la primera:

    $$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}

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Metodo Hipotetiko Deduktiboa, Filosofia, Giza Eboluzioa eta Eboluzioaren Teoriak

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Metodo Hipotetiko Deduktiboa

Metodo Hipotetiko Deduktiboa:

  • Protokolozko enuntziatuek enpirikoki egiaztatzeko moduko fenomenoak azaltzen dituzte.
  • Legeak enuntziatu unibertsalak dira, eta fenomeno jakin batzuen portaera edo erlazio erregularrak eta iraunkorrak izaten dituzte aztergai. Hasieran hipotesiak izaten dira, egiaztatu gabeko enuntziatuak, eta egiaztatuta geratzen direnean, lege naturaltzat hartzen dira. Esperientziak bihurtzen ditu lege.
  • Teoriak enuntziatu unibertsalak dira, eta horietatik zientzia baten lege guztiak deduzi daitezke. Zientziei batasuna ematen diete, eta haietan oinarrituz lege berriak aurki daitezke.

Urratsak:

  1. Behaketa eta/edo esperimentazioa.
  2. Azalpenezko hipotesia.
  3. Hipotesiak matematikoki formulatu.
  4. Egiaztatu edo faltsuak jazo.
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Bizitzaren Eboluzioa eta Gizakiaren Jatorria

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Ontogenesia

Izaki bizidunak etengabe aldatzen dira. Baina aldaketa horiek bi motatakoak dira. Alde batetik, izaki bakoitzak eraldaketak izaten ditu, jaio aurretik hasi eta hil arte. Aldaketa horri ontogenesia deritzo. Bestalde, espezieak ere etengabe eraldatzen dira; ez dira banakako aldaketak, espezie esaten diogun multzo osoarenak baizik.

Filogenesia

Filogenesia deritzon kontzeptuak espezieak denboran zehar aldatu direla adierazten du: espezie batzuetatik beste batzuk sortu dira, eta horrenbestez filum edo leinu bat osatzen dute.

Fixismoa

Espezie bakoitza aldaezina zela ulertzen zuten, baita betierekoa zela ere. Horregatik, azalpen horiei oro har teoria fixista esaten zaie.

Eboluzionismoaren hastapenak

Lamarck izan zen espezieen eboluzio biologikoari... Continuar leyendo "Bizitzaren Eboluzioa eta Gizakiaren Jatorria" »

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Formulas

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aceleracion velocidad const caida libre
A=(vf-vo)/t V=d/t vf=Vo+gt
vf=vo+at x=V.T y=Vo.t+1/2gt
x=vo.t+1/2(at ) 2gy=Vf - Vo
2ax=vf2-vo2 y=((Vo+Vf)T)/2
x=((vo+Vf)t)/ 2
x=distancia horizontal Y= distancia vertical o altura

angulo rozamiento
axb/ |a|x|b| Fr= U Fn
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Formulas trigonometría

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 sen ? x cosec ? = 1  cos ? x sec ? = 1  tg ? x cotg ? = 1

1+ tg²? = sec²? = 1/cos²?   1+cotg²? = cosec ²? = 1/sen²?

Relación entre razones trigonométricas de ángulos complementarios:

cos (90-?) = sen ?|  sen (90-?) = cos ?|  tg (90-?)= cotg ?

Relación entre razones trigonométricas de ángulos suplementarios:

cos (180-?) = -cos ?|  sen (180-?)= sen ?|  tg (180-?) = -tg ?

 Relación entre razones trigonomeetricas de ángulos que se diferebcian en 180º:

cos(180+?)= -cos ?| sen (180+?)=- sen ?|  tg (180+?) = tg ?

Relación entre razones trigonomeetricas de ángulos opuestos:

cos (-?) = cos ?|  sen (-?)= sen ?|  tg (-?) = -tg ?

Razones trigonometricas de suma de ángulos:

 sen(a+b)= sen a.cos b + cos a.sen b /// cos(a+

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Chuleta mates

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Lugar geometrico del plano: conjunto de puntos de este que cumplen una condicion determinada.Mediatriz:lugar geometrico de losnpuntos del plano que equidistan de dos untos cualesquiera A y B.Bisectriz:lugar geometrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas.d(p,r) = d(p,s).Elipse: lugar geometrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.Parábola:es el lugar geometrico de los puntos del plano que equidistan de una recta llamada directriz y de un punto llamado foco.
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Estad

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Teorema Central del Límite.
Cierto proceso de manufactura produce pernos que deben tener un diámetro entre 1.2 y 1.25 pulgadas. Se sabe que el diámetro se distribuye normalmente con media 1.21 pulgadas y desviación estándar de 0.02. ¿Qué porcentajes de pernos está fuera de especificación y qué porcentaje está dentro de especificación?
Datos.
X1=1.20
X2=1.25
=1.21
=0.02
Las cajas entregadas por una fábrica tienen un peso medio de 300 libras y una desviación estándar de 50 libras. ¿Cuál es la probabilidad de que 36 cajas tomadas al azar y cargadas en un camión excedan la capacidad especificada del camión que se sabe es de 11,500 libras?
Datos.
= 300 libras
= 50 libras
n=36 cajas
Limite = 11,500
n =10800
n =1800
12600
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Propiedades dos Determinantes e Conceptos Básicos de Álgebra Lineal

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Propiedades dos determinantes

1. O determinante dunha matriz é igual ao da súa traspost.

2. Se unha matriz cadrada ten unha liña (fila ou columna) de ceros, o seu determinante é 0.

3. Se permutamos dúas liñas paralelas dunha matriz cadrada, o seu determinante cambia de signo.

4. Se unha matriz cadrada ten dúas liñas paralelas iguais, o seu determinante é 0.

5. Se multiplicamos polo mesmo número todos os elementos dunha liña dunha matriz cadrada, o seu determinante queda multiplicado por ese número.

6. Se unha matriz ten dúas filas ou columnas proporcionais, o seu determinante é 0.

7. (orde 2) Se unha columna dunha matriz é suma de dúas, o seu determinante pode descompoñerse en suma de dous determinantes de matrices de orde 3:

a11 (... Continuar leyendo "Propiedades dos Determinantes e Conceptos Básicos de Álgebra Lineal" »

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Trigonometria y geometria analitica

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sen(a+b) =sena·cosb+cosa·senb
cos(a+b) =cosa·cosb-sena·senb
tg(a+b)= tga+tgb / 1-tga·tgb
sen(a-b) =sena·cosb-cosa·senb
cos(a+b) =cosa-cosb+sena·senb
tg(a-b)=tga-tgb / 1+tga·tgb
sen2a=2·sena·cosa
cos2a=cos2a-sen2a
tg2a= 2tga / 1-tg2a
sen a/2= ?1-cosx/2 (todo dentro)
cos a/2= ?1+cosa/2 (todo dentro )
tg a/2=?1-cosa/1+cosa (todo dentro )
senA+senB=2sen A+B/2 · cos A-B/2
senA-senB=2cos A+B/2 · sen A-B/2
cosA+cosB=2cos A+B/2 · cos A-B/2
cosA-cosB= -2sen A+B/2 · sen A-B/2

I II III IV
seno + + - -
cos. + - - +
tang. + - + -

Teorema del Seno
a/sen = b/senB | a/senÂ=c/senC | b/senB=c/senC
Teorema Coseno
a2 = b2+c2-2bc·cosÂ
b2 = a2+c2-2ac·cosB
c2= a2+b2-2ab·cosC
Área del triángulo
S= 1/2 a·b·senC
S= 1/2 a·c·senB
S= 1/2 b·c·senA

sen2a+cos2a=1
sen2a=... Continuar leyendo "Trigonometria y geometria analitica" »
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Filo 3 trimestr part3

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Marx-en bizitza 1818:Treverisen (Renania) jaio zen. Prusiar estatuan.Jatorriz judua baina familiz protestantea.Aita abokatua da. Hezkuntza liberala, aurrerakoia izan zuen.Bonn eta Berlin-en Zuzenbidea ikasten du.Hegeldiarrak ezagutzen ditu (B.Bauer...) 1838:Filosofia ikasten duEzkerreko Hegeldiarren mugimenduan dabil: jarrera kritikoa. 1841:Jena-ko Unibertsitatean filosofiako Doktorautza lortzen du:Greziako filosofia materialistari buruz.1842:Rhineko Gazeta egunkarian hasten da lanean.Garai honetako aldizkari aurrerakoia eta burgesiaren bozeramalea.Erredakzioburua egiten dute.1843:Nobleziako alaba den Jenny Von Wesftalen-ekin ezkontzen da.Bere koinatua barne ministroa da garai horretan.Egunkaria ixten dute. Arazo judizialak ditu.Horregatik... Continuar leyendo "Filo 3 trimestr part3" »
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