Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Ecuaciones de la Recta y el Plano en el Espacio (R³)

Ecuaciones de la Recta

• Ecuación Vectorial:

  $(x, y, z) = (a_1, a_2, a_3) + k \cdot (v_1, v_2, v_3)$

• Ecuación Paramétrica:

  $x = a_1 + k \cdot v_1$

  $y = a_2 + k \cdot v_2$

  $z = a_3 + k \cdot v_3$

• Ecuación Continua:

  $$\frac{x - a_1}{v_1} = \frac{y - a_2}{v_2} = \frac{z - a_3}{v_3}$$

• Ecuación Implícita (o General): La recta se define como la intersección de dos planos:

  $$\begin{cases} Ax + By + Cz + D = 0 \\ A'x + B'y + C'z + D' = 0 \end{cases}$$

Ecuación del Plano

• Ecuación General (Implícita):

  $Ax + By + Cz + D = 0$

Conceptos Fundamentales de Vectores

• Vector Fijo (o Ligado): Vector representado por un segmento orientado $\vec{AB}$.
• Vectores Equipolentes: Vectores fijos que tienen la misma dirección,

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Regla de Barrow

Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y F(x) es una primitiva de f(x), entonces:

∫_a^b f(x)dx = F(b) – F(a)

Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y sea F(x) = ∫_a^x f(t)dt con x ∈ [a, b] la función integral. Entonces, F es derivable en (a, b) y F'(x) = f(x) para cualquier punto x ∈ (a, b).

Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral

Dada una función f continua en el intervalo [a, b], existe un punto c ∈ (a, b) tal que:

∫_a^b f(x)dx = f(c) · (b - a)

Interpretación geométrica

Siendo la integral un área, la interpretación geométrica es simple: existe un punto c ∈ (a, b) tal que el área encerrada entre la curva, el eje de abscisas y las rectas x

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Probabilidad

La probabilidad es una rama de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios. A continuación, se presentan algunas de sus fórmulas fundamentales:

Probabilidad Condicionada

Se refiere a la probabilidad de que ocurra un evento B, sabiendo que ya ha ocurrido un evento A. Se expresa como:

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)

Teorema de Bayes

Permite calcular la probabilidad de un evento A, dado que ha ocurrido un evento B, utilizando información previa. Se expresa como:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Probabilidad Total

Se utiliza para calcular la probabilidad de un evento R que puede ocurrir a través de diferentes caminos o eventos mutuamente excluyentes (A, B, C). Se expresa como:

P(R) = P(A) · P(R|A) + P(B) · P(R|B) + P(C) · P(R|C)

Ecuaciones

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Metodo Hipotetiko Deduktiboa

Metodo Hipotetiko Deduktiboa:

• Protokolozko enuntziatuek enpirikoki egiaztatzeko moduko fenomenoak azaltzen dituzte.
• Legeak enuntziatu unibertsalak dira, eta fenomeno jakin batzuen portaera edo erlazio erregularrak eta iraunkorrak izaten dituzte aztergai. Hasieran hipotesiak izaten dira, egiaztatu gabeko enuntziatuak, eta egiaztatuta geratzen direnean, lege naturaltzat hartzen dira. Esperientziak bihurtzen ditu lege.
• Teoriak enuntziatu unibertsalak dira, eta horietatik zientzia baten lege guztiak deduzi daitezke. Zientziei batasuna ematen diete, eta haietan oinarrituz lege berriak aurki daitezke.

Urratsak:

1. Behaketa eta/edo esperimentazioa.
2. Azalpenezko hipotesia.
3. Hipotesiak matematikoki formulatu.
4. Egiaztatu edo faltsuak jazo.

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Ontogenesia

Izaki bizidunak etengabe aldatzen dira. Baina aldaketa horiek bi motatakoak dira. Alde batetik, izaki bakoitzak eraldaketak izaten ditu, jaio aurretik hasi eta hil arte. Aldaketa horri ontogenesia deritzo. Bestalde, espezieak ere etengabe eraldatzen dira; ez dira banakako aldaketak, espezie esaten diogun multzo osoarenak baizik.

Filogenesia

Filogenesia deritzon kontzeptuak espezieak denboran zehar aldatu direla adierazten du: espezie batzuetatik beste batzuk sortu dira, eta horrenbestez filum edo leinu bat osatzen dute.

Fixismoa

Espezie bakoitza aldaezina zela ulertzen zuten, baita betierekoa zela ere. Horregatik, azalpen horiei oro har teoria fixista esaten zaie.

Eboluzionismoaren hastapenak

Lamarck izan zen espezieen eboluzio biologikoari... Continuar leyendo "Bizitzaren Eboluzioa eta Gizakiaren Jatorria" »

aceleracion velocidad const caida libre
A=(vf-vo)/t V=d/t vf=Vo+gt
vf=vo+at x=V.T y=Vo.t+1/2gt
x=vo.t+1/2(at ) 2gy=Vf - Vo
2ax=vf2-vo2 y=((Vo+Vf)T)/2
x=((vo+Vf)t)/ 2
x=distancia horizontal Y= distancia vertical o altura

angulo rozamiento
axb/ |a|x|b| Fr= U Fn

 

 sen ? x cosec ? = 1  cos ? x sec ? = 1  tg ? x cotg ? = 1

1+ tg²? = sec²? = 1/cos²?   1+cotg²? = cosec ²? = 1/sen²?

Relación entre razones trigonométricas de ángulos complementarios:

cos (90-?) = sen ?|  sen (90-?) = cos ?|  tg (90-?)= cotg ?

Relación entre razones trigonométricas de ángulos suplementarios:

cos (180-?) = -cos ?|  sen (180-?)= sen ?|  tg (180-?) = -tg ?

 Relación entre razones trigonomeetricas de ángulos que se diferebcian en 180º:

cos(180+?)= -cos ?| sen (180+?)=- sen ?|  tg (180+?) = tg ?

Relación entre razones trigonomeetricas de ángulos opuestos:

cos (-?) = cos ?|  sen (-?)= sen ?|  tg (-?) = -tg ?

Razones trigonometricas de suma de ángulos:

 sen(a+b)= sen a.cos b + cos a.sen b /// cos(a+

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Lugar geometrico del plano: conjunto de puntos de este que cumplen una condicion determinada.Mediatriz:lugar geometrico de losnpuntos del plano que equidistan de dos untos cualesquiera A y B.Bisectriz:lugar geometrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas.d(p,r) = d(p,s).Elipse: lugar geometrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.Parábola:es el lugar geometrico de los puntos del plano que equidistan de una recta llamada directriz y de un punto llamado foco.