Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Óvalo: Construcción y Propiedades

Conociendo el Eje Mayor

Para construir un óvalo conociendo su eje mayor, se divide este en tres segmentos. Se trazan circunferencias desde dos puntos clave (generalmente los extremos del eje mayor o puntos específicos sobre él). Los puntos de intersección de estas circunferencias definen la forma del óvalo. Finalmente, se une el centro de la circunferencia con los puntos resultantes para completar el trazado.

Conociendo el Eje Menor

Para el trazado a partir del eje menor, se traza la mediatriz de este eje. Se dibuja un círculo alrededor del punto medio. Los puntos donde las líneas (posiblemente las que definen el eje menor o la mediatriz) cortan el círculo, tanto en la parte superior como en los lados,... Continuar leyendo "Geometría Descriptiva: Trazado y Construcción de Curvas Cónicas y Figuras Fundamentales" »

Gobernu Motak eta Printzipio Juridikoak

Herritarrek Aukeratutako Gobernua

Herritarrek aukeratutako gobernua dela esan nahi du, eta herritar horiek beste herritar batzuk aukeratzen dituzte beren ordezkari izateko. Biztanleria, beraz, bi mailatan banatzen da: gobernatzaileak, guztion onerako ari daitezen, eta gobernatuak edo herri xehea; bizitza pribatuari eusten dion jendea, agintearen zerbitzuak jasotzeaz gain, ezarritako kargak jasan behar dituena.

Berdintasun eta Desberdintasun Printzipioak

Berdintasun printzipioa: Legearen aurrean denok gara berdinak. Denok ditugu eskubide eta betebehar berberak.

Desberdintasun printzipioa: Legea denontzat berdina den arren, kasu batzuetan, egoera aintzat hartu eta eskubide bereziak aitortzen dizkie herritar... Continuar leyendo "Gobernu Motak eta Printzipio Juridikoak: Demokrazia, Monarkia eta Errepublika" »

Problema 1: Venta de Libros (Novelas y Cuentos)

Enunciado: Un librero vende un lote de 83 libros, con novelas a 5 € y cuentos a 4 €, sumando un total de 346 €.

Planteamiento del Sistema

Definimos las variables:

• x: número de novelas
• y: número de cuentos

El sistema de ecuaciones que representa la situación es:

x + y = 83   (Total de libros)
5x + 4y = 346  (Costo total)

Resolución del Sistema (Método de Sustitución)

De la primera ecuación, despejamos x:

x = 83 - y

Sustituimos esta expresión de x en la segunda ecuación:

5(83 - y) + 4y = 346
415 - 5y + 4y = 346
415 - y = 346
-y = 346 - 415
-y = -69
y = 69

Ahora, sustituimos el valor de y en la ecuación despejada de x:

x = 83 - 69
x = 14

Solución

Respuesta: El lote contiene 14 novelas y 69 cuentos.... Continuar leyendo "Problemas de Ecuaciones Lineales Resueltos: Ejercicios Prácticos de Matemáticas" »

Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 años. Si mi abuelo tiene 50 mas que mi hemano ¿Qué edad tiene cada uno? Edad de abuelo X ; edad hrmano Y ; x+y=56 abajo x-50=y } x+x-50=56 ; 2x=56+50 ; 2x=106 ; x=106/2 ; x=53 ; y=56-53 ; y=3 ;
sol  abuelo 53 años hermano 3 años

Un crucero tiene habitaciones dobles de 2 camas y sencillas de 1 cama , en total 47 habitaciones y 79 camas ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo. X=nº habitaciones dobles ; y = nºhabitaciones sencillas ; x+y=47 ; abajo 2x+1por y=79 } x=47-y ; la de abajo 2(47-y)+y=79 ; 94-2y+y=79 ; 94-79 =2y-y ; 15=1y ; y=15 ; x=47-15 ; x=32 ; sol 32 habita dobles , 15 habi sencill

Calcula el precio de 1 kg de jamón y el precio de 1 L de aceite, sabiendo que 3kg de jamón y 5L de aceite... Continuar leyendo "Dominando la Solución de Ecuaciones 2x2: Problemas de Aplicación y Métodos Algebraicos" »

Conceptos Fundamentales de Trigonometría y Geometría

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es fundamental para trabajar con triángulos rectángulos. Establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados (catetos).

Fórmula General:

hipotenusa² = cateto₁² + cateto₂²

Buscando un Cateto

Para encontrar la longitud de un cateto cuando se conocen la hipotenusa y el otro cateto:

1. Eleva al cuadrado la medida de la hipotenusa y la del cateto conocido.
2. Resta el cuadrado del cateto conocido al cuadrado de la hipotenusa.
3. Calcula la raíz cuadrada del resultado para obtener la longitud del cateto desconocido.

Ejemplo:

Si hipotenusa

1. Bizitzaren Hasiera eta Lehen Hominidoak

Sistema Sexagesimal

Conversión de grados, minutos y segundos.

Conversión de Complejos a Incomplejos (Grados a Minutos/Segundos)

• Minutos (x'): Multiplicar los grados (#°) por 60. Fórmula: x' = #° * (60') / 1°
• Segundos (x"): Multiplicar los minutos (#') por 60. Fórmula: x" = #' * (60") / 1'

Conversión de Incomplejos a Complejos (Segundos/Minutos a Grados)

• Minutos desde Segundos (x'): Dividir los segundos (#") entre 60. Fórmula: x' = #" * (1') / 60"
• Grados desde Minutos (x°): Dividir los minutos (#') entre 60. Fórmula: x° = #' * (1°) / 60'

Sistema Circular

Relación entre grados sexagesimales y radianes.

• Grados a Radianes: Multiplicar los grados (#°) por π y dividir entre 180°. Fórmula: Radianes = #° * (π rad) / 180°
• Radianes a Grados:

Defina los conceptos de ángulo de dos vectores no nulos y de vectores ortogonales en R^n

Definición

Dado dos vectores no nulos x,y€R^n se define eñ ángulo formado por x e y como el único numero Φ€[0,Pi tal que el cosΦ=(x|y)/||x|| ||y||

Se dice que dos vectores x,y€Rⁿ son ortogonales si (x|y)=0. Si A wa un subconjunto no vacío de Rⁿ se llama complemento ortogonal de A al conjunto

A™ = { x€Rⁿ  (x|a) =0 √a€A}

Si x,y€Rⁿ son vectores no nulos, se llama proyección ortogona de x sobre y al vector ηy(x)=((x|y/(y|y) y

Defina los conjuntos bola abierta, bola cerrada y esfera en R^n. (con una norma arbitraria ||.||)

Sea ||.|| una norma arbitraria en R^n. Sean a€R^n y r€R^+. La bola abierta en R^n de centro a y de radio r es el... Continuar leyendo "Ángulos entre Vectores, Conjuntos Abiertos y Cerrados en R^n" »

Conceptos Fundamentales de Convexidad y Cálculo Diferencial

Conjuntos Convexos

• Un conjunto definido por una restricción lineal de igualdad (=) es convexo (hiperplano).
  Ejemplo: S = {(X,Y) | 2X - 3Y = 4}
• Un conjunto definido por una restricción lineal de desigualdad (< o >) es convexo (semiespacio).
• El conjunto de puntos donde una función estrictamente convexa es mayor que una constante ({x | f(x) > c}) es convexo.
• El conjunto de puntos donde una función estrictamente cóncava es menor que una constante ({x | f(x) < c}) es convexo.
• La intersección de conjuntos convexos es convexa.

Funciones y Convexidad

• Una función f(x) es convexa si su matriz Hessiana (Hf) es semidefinida positiva (SDP).
• Una función f(x) es cóncava si su matriz

Continuidad de una Función

-Función continua: Una función f es continua en un punto x=a de su dominio si lim f(x) (cuando x tiende a a) = f(a). Esto implica que existe el límite de la función en el punto x=a, f está definida en x=a, existe f(a), y ambos valores son iguales.

Tipos de Discontinuidad

1. Discontinuidad evitable: Existe el límite pero no coincide con f(a). lim f(x) (cuando x tiende a a) ≠ f(a)
2. Discontinuidad de 1ª especie o de salto: Existen los límites laterales pero no son iguales. L1 = lim f(x) (cuando x tiende a a +) ≠ lim f(x) (cuando x tiende a a -) = L2.
3. Discontinuidad de 2ª especie: Cuando alguno (o ambos) de los límites laterales no existen.

Asíntotas

AH: lim f(x) (cuando x tiende a +-inf) = nº.

AV: lim f(x) (cuando... Continuar leyendo "Continuidad, Derivadas y Matrices: Conceptos Clave en Matemáticas" »