Fundamentos de Cálculo Diferencial: Derivadas, Optimización y Geometría

Estudio de la derivabilidad en una función definida a trozos

Para estudiar la derivabilidad, primero debemos comprobar si la función f es continua en x=a. Si no lo es, no será derivable. Posteriormente, calculamos los límites laterales de la derivada:

• f'(a-) = lim f1(x) (cuando x tiende a a-)
• f'(a+) = lim f2(x) (cuando x tiende a a+)

Si ambos límites existen y son iguales, f es derivable en x=a y ese valor es la derivada. En caso contrario, no es derivable.

Crecimiento y Curvatura

Crecimiento

1. Dominio.
2. Cálculo de la derivada (f').
3. Igualar f'(x)=0.
4. Establecer intervalos, puntos de control, signo de f' y comportamiento de la función (crece o decrece).

Curvatura

1. Dominio.
2. Cálculo de la segunda derivada (f'').
3. Igualar f''=0.
4. Establecer intervalos, puntos de control, signo de f'' y comportamiento de la función.

Tabla de Derivadas

Funciones elementales

• y=k → y'=0
• y=x → y'=1
• y=u(x)+v(x) → y'=u'(x)+v'(x)
• y=k·u(x) → y'=k·u'(x)
• y=u(x)·v(x) → y'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
• y=u(x)/v(x) → y'=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/v²(x)
• y=xⁿ → y'=n·xⁿ⁻¹
• y=ln(x) → y'=1/x
• y=logₐ(x) → y'=1/(x·ln(a))
• y=eˣ → y'=eˣ
• y=aˣ → y'=aˣ·ln(a)
• y=sen(x) → y'=cos(x)
• y=cos(x) → y'=-sen(x)
• y=tg(x) → y'=1/cos²(x)
• y=cotg(x) → y'=-1/sen²(x)
• y=arcsen(x) → y'=1/√(1-x²)
• y=arccos(x) → y'=-1/√(1-x²)
• y=arctg(x) → y'=1/(1+x²)

Regla de la cadena (Funciones compuestas)

• y=uⁿ(x) → y'=n·uⁿ⁻¹(x)·u'(x)
• y=ln(u(x)) → y'=u'(x)/u(x)
• y=eᵘ⁽ˣ⁾ → y'=eᵘ⁽ˣ⁾·u'(x)
• y=sen(u(x)) → y'=u'(x)·cos(u(x))
• y=cos(u(x)) → y'=-u'(x)·sen(u(x))

Regla de L'Hôpital y Extremos

L'Hôpital

Se aplica ante indeterminaciones (0/0 o ∞/∞) derivando numerador y denominador. Para otras formas (0·∞, ∞-∞, 1^∞, ∞⁰, 0⁰), se debe transformar la expresión a una forma cociente o aplicar logaritmos (fᵍ = eᵍ·ˡⁿᶠ).

Máximos y mínimos

• Máximo: f'(a)=0 y f''(a)<0
• Mínimo: f'(a)=0 y f''(a)>0

Formulario Geométrico

• Triángulo: A=b·h/2; P=L+L+L
• Cuadrado: A=L²; P=4·L
• Rectángulo: A=b·h; P=2x+2y
• Rombo: A=D·d/2; P=4·L
• Círculo: A=π·r²; P=2·π·r