Fundamentos del Cálculo Integral: Regla de Barrow y Teoremas Esenciales

Regla de Barrow

Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y F(x) es una primitiva de f(x), entonces:

∫_a^b f(x)dx = F(b) – F(a)

Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y sea F(x) = ∫_a^x f(t)dt con x ∈ [a, b] la función integral. Entonces, F es derivable en (a, b) y F'(x) = f(x) para cualquier punto x ∈ (a, b).

Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral

Dada una función f continua en el intervalo [a, b], existe un punto c ∈ (a, b) tal que:

∫_a^b f(x)dx = f(c) · (b - a)

Interpretación geométrica

Siendo la integral un área, la interpretación geométrica es simple: existe un punto c ∈ (a, b) tal que el área encerrada entre la curva, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b es igual al área de un rectángulo de base (b - a) y altura f(c).

Definición de Primitiva

Se llama función primitiva de una función a otra función F(x) tal que la derivada de F(x) es f(x), es decir, se verifica F'(x) = f(x).

Teniendo en cuenta las propiedades de la derivada, si F(x) es una función primitiva de f(x), cualquier otra función primitiva de f(x) es de la forma F(x) + C, con C ∈ ℝ.

• Demostración: Consideramos la función F(x) + C. Si derivamos: (F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x). Por tanto, F(x) + C es primitiva de f(x).

Definición de Integral Indefinida

La integral indefinida de una función f(x) es el conjunto de todas sus primitivas, y se representa como:

∫ f(x)dx = F(x) + C

Se lee "integral de f(x) diferencial de x".

• C: Se denomina constante de integración.
• dx: Indica que estamos integrando respecto de x.

Esta notación está relacionada con la regla de la cadena y es fundamental para el cálculo en varias variables. Históricamente, la expresión de la integral indefinida es la estilización de la suma de f(x) por Δx cuando Δx → 0, representando la suma del área de todos los rectángulos de altura f(x) y base infinitesimal (dx).