Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Ángulos en Radianes y Función Seno

A continuación se presentan los valores de la función seno para los ángulos más comunes expresados en radianes:

• 0 rad: sen(0) = 0
• π/4 rad: sen(π/4) = sen(45°) ≈ 0,707
• π/2 rad: sen(π/2) = sen(90°) = 1
• π rad: sen(π) = sen(180°) = 0
• 3π/2 rad: sen(3π/2) = sen(270°) = -1
• 2π rad: sen(2π) = sen(360°) = 0

Tabla de Conversión: Grados a Radianes

Relación entre grados sexagesimales y radianes:

• 0°: 0 rad
• 45°: π/4 rad
• 90°: π/2 rad
• 135°: 3π/4 rad
• 180°: π rad (un pi)
• 225°: 5π/4 rad
• 270°: 3π/2 rad (simplificado)
• 315°: 7π/4 rad
• 360°: 2π rad o 0 rad

Frecuencia Angular (ω₀)

La fórmula fundamental es ω₀ = 2πf (rad/s). Ejemplos de cálculo:

• 4 ciclos/seg (4 Hz): ω₀ = 2π × 4 = 8π rad/s
• 10 ciclos/

Operacions amb Vectors

Càlcul amb vectors donats

Donats els vectors u=(5,-4), v=(2,3) i w=(-6,4):

• Càlcul: 2·u - 3·v + w

  2·(5,-4) - 3·(2,3) + (-6,4) = (10,-8) - (6,9) + (-6,4) = (10-6-6, -8-9+4) = (-2,-13)

• Càlcul: u + 1/3·v - 1/2·w

  (5,-4) + 1/3·(2,3) - 1/2·(-6,4) = (5,-4) + (2/3,1) - (-3,2) = (5 + 2/3 + 3, -4 + 1 - 2) = (26/3,-5)

Càlcul de Punts i Coordenades

Determinació d'un punt amb condicions vectorials

Calcula el punt P(x,y) amb Q(3,2) i R(-1,5) de manera que 3·PQ - 2·QR = 0:

3·PQ - 2·QR = 0

3·(3-x, 2-y) - 2·(-1-3, 5-2) = (0,0)

3·(3-x, 2-y) - 2·(-4, 3) = (0,0)

(9-3x, 6-3y) - (-8, 6) = (0,0)

(9-3x+8, 6-3y-6) = (0,0)

(17-3x, -3y) = (0,0)

• Component x:

  17 - 3x = 0 → 3x = 17 → x = 17/3

• Component y:

  -3y = 0 → y = 0

Per tant, P = (17/3,

Teorema del Resto

Ejemplo: Consideremos los polinomios y . Tenemos que:

Por lo tanto, el residuo que resulta al dividir entre debería ser 56. Para verificarlo, utilizaremos la regla de Ruffini; primero colocamos los coeficientes del polinomio en la primera fila de nuestro arreglo y colocamos el 3 ligeramente a la izquierda:

Luego, bajamos el 1 (el primer coeficiente de ) debajo de la línea horizontal:

Después multiplicamos el 1 que tenemos debajo de la línea horizontal por el 3 (cuyo resultado es 3) y lo colocamos debajo del siguiente coeficiente de :

Después realizamos la resta de los números que están en la columna del segundo coeficiente ( ) y colocamos el resultado debajo de la línea horizontal:

Repetimos el procedimiento anterior.... Continuar leyendo "Teorema del Resto: explicación paso a paso y ejemplos" »

Biografías de Matemáticos Influyentes

John Napier (Siglo XVI)

Matemático escocés, reconocido por ser el primero en definir los logaritmos. También popularizó el uso del punto decimal en las operaciones aritméticas.

Leonhard Euler (Siglo XVIII)

Matemático, físico y filósofo suizo. Ampliamente conocido por el número de Euler (e), que aparece en numerosas fórmulas de cálculo y física. Realizó aportaciones científicas cruciales en varios campos relacionados con la física.

Bernhard Riemann (Siglo XIX)

Matemático alemán. Hizo contribuciones muy importantes al análisis y la geometría diferencial. Una de sus obras principales trata sobre el número de primos menores que una cantidad dada.

Paolo Ruffini (Siglos XVIII-XIX)

Matemático,... Continuar leyendo "Biografías y Conceptos Matemáticos Clave: De Neper a los Sistemas de Ecuaciones" »

Barne Produktu Gordinaren (BPG) Bilakaera Espainian Frankismo Garaian (1939-1973)

Honako hau grafiko lineala da. Bertan, 1939 eta 1973 urteen bitartean, hau da, ia frankismo osoan, biztanle bakoitzeko Barne Produktu Gordina (BPG) agertzen da. Izaera ekonomikoa du, BPGaren datuak ematen baititu, hau da, ondasun eta zerbitzuen ekoizpenaren balioa azaltzen da, biztanle kopuruaren araberakoa. Grafiko hau [Iturria zehaztu] liburutik hartua dago.

Grafikoaren Deskribapena

Ardatz horizontalean, urteak agertzen dira. Esan bezala, 1939. urtean hasi eta 1973. urtera arteko datuak ageri dira, eta urteak binaka antolatuta daude. Ardatz bertikalean, berriz, 50 milaka pezeta kopurua agertzen da. 1980ko pezetaren arabera daude eginak kalkuluak; izan ere, pezetak... Continuar leyendo "BPGaren Bilakaera Frankismoan (1939-1973): Analisi Ekonomikoa" »

Conceptos Básicos de Topología en Rⁿ

Punto interior y entorno

Sea D ⊆ ℝⁿ y sea a ∈ D. Diremos que a es un punto interior de D, y que D es un entorno de a, si existe un δ > 0 tal que B(a, δ) ⊂ D.

Bola abierta en Rⁿ

Se define la bola abierta en ℝⁿ como: B(a, δ) = { x ∈ ℝⁿ : ||x – a|| < δ }.

Conjuntos abiertos y cerrados

• Conjunto abierto: Diremos que D ⊆ ℝⁿ es un conjunto abierto si todos sus puntos son interiores.
• Conjunto cerrado: Diremos que D ⊆ ℝⁿ es un conjunto cerrado si su complementario (ℝⁿ \ D) es un conjunto abierto.
• Punto de acumulación: Sea D ⊆ ℝⁿ y sea a ∈ ℝⁿ. Diremos que a es un punto de acumulación de D si, para todo δ > 0, en B(a, δ) existen puntos de D diferentes

Tipificación de Variables

Qué es y Sentido

Qué es tipificar variables y qué sentido tiene: La tipificación permite comparar distintas variables que no tienen relación entre ellas. Con ello, obtenemos una nueva variable llamada “z”, que es el resultado de restar la media de la muestra y dividir por la desviación típica.

Propiedades de una Distribución Tipificada

Propiedades:

• La media es 0.
• La desviación típica es 1.

Se representa como N(0,1). La fórmula es: Z = (x - media) / DT.

Variables Cualitativas Nominales

Características y Cálculo

Cómo se trabaja con una variable cualitativa nominal: Sirven para diferenciar unos objetos de otros. Por lo tanto, las únicas operaciones permitidas son las relacionadas con la igualdad y la desigualdad.... Continuar leyendo "Conceptos Estadísticos Clave y Pruebas para Datos Cuantitativos" »

1. Cálculo Coordinado de los Trazados en Planta y en Alzado

El diseño y encaje geométrico tridimensional de vías requiere la sincronización y cálculo conjunto de los elementos en planta (alineaciones rectas, curvas circulares y curvas de transición o clotoides) y en alzado (rasantes uniformes y acuerdos parabólicos verticales).

1.1. Determinación del Vértice de Alzado ($V$)

• Cálculo de la ordenada del vértice ($S_V$):
  $$Z_{PI} + \left(\frac{i_e}{100}\right) \times (S_V - S_{PI}) = Z_{PF} - \left(\frac{i_s}{100}\right) \times (S_{PF} - S_V)$$
• Parámetros angulares y de longitud: Se determinan $\theta$, $L$ y la tangente $T$.
• Cálculo de $V$ en alzado:
  Abscisa: $S_V$
  Cota del vértice: $$Z_V = Z_{PI} + \left(\Delta S_{V-PI} \times \frac{i_

Meatzarien bizilekuak eta barrakoien egoera

Lehenengo zatian, jornalariak non bizi ziren aipatzen da. Meatzeak hirigunetatik urrun zeudenez, nagusiek barrakoiak eraiki zituzten langileentzat. Hauek instalazio ahulak eta erraz mugitzekoak ziren. Bertan, langileak egoera txarretan bizitzera derrigortuta zeuden. (1-2. lerroetan: “meatze-mendietako aterpetxe ziztrina, eta jornalariak han bizi ziren, pilatuta”).

Lan baldintzak, elikadura eta higiene eza

Bigarren zatian, Arestik, eleberriko pertsonai garrantzitsuenak, lan baldintzen, dietaren eta barrakoien inguruko azalpenak ematen ditu. Meatzariek lan jardun luzeak zituzten. Hasiera batean, eguraldiak uzten bazuen, eguzkia sortzen zenetik sartzen zenera arte egiten zen lan, hau da, 11 ordu edo