Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Dominio de funciones

• Polinómicas: Dom f(x) = ℝ.
• Racionales: Dom f(x) = ℝ - {resultado de la ecuación del denominador}.
• Radicales: Inecuación con el radicando ≥ 0. El dominio será el intervalo resultante.

Representación gráfica de funciones cuadráticas

Para representar una función cuadrática, seguimos estos pasos:

1. Hallar el vértice (V): Calculamos primero Vx = -b/2a. Luego, sustituimos este valor en la función para obtener Vy.
2. Puntos de corte: Hallamos el punto de corte con el eje X (haciendo y=0) y el punto de corte con el eje Y (haciendo x=0).

Operaciones con funciones

• Funciones inversas: Intercambiamos las variables X e Y y despejamos la incógnita Y.
• Composición de funciones (F ∘ G): Sustituimos la función G en cada valor de la

Propiedades de la Función de Probabilidad y Distribución

Función de Probabilidad (para variables discretas):

• f(x_i) está entre 0 y 1.
• La suma de todas las f(x) es igual a 1: Σ f(x) = 1.

Función de Distribución:

• F(X) está entre 0 y 1.
• f(x) es no decreciente.
• f(a) ≤ f(b).
• f(a) = Σ f(a) (y lo mismo para b).

Esperanza y Varianza: Definiciones y Propiedades

Esperanza (E(x)): Media ponderada de los posibles resultados, donde el coeficiente de ponderación de cada resultado es su probabilidad.

E(x) = Σ [f(X) * x]

Propiedad de Linealidad de la Esperanza:

E(ax + b) = aE(x) + b

Demostración:

E(ax + b) = (ax₁ + b) f(x₁) + ... + (ax_n + b) f(x_n)

= ax₁ * f(x₁) + ... + ax_n * f(x_n) + b f(x₁) + ... + b f(x_n)

= a(x₁ * f(x₁) + ... + x_n * f(x_n)) + b(f(x₁) + ... +... Continuar leyendo "Propiedades y Fórmulas Clave de Probabilidad: Variables Aleatorias Discretas y Continuas" »

Càlcul del Vector Unitari

Per obtenir un vector unitari, considerem el mòdul a = c. Si tenim el vector a(x, y), el vector unitari serà a(x/c, y/c).

Operacions amb Vectors: Multiplicacions

• Producte escalar: a · b = (x1, y1) · (x2, y2) = x1·x2 + y1·y2. El resultat és un número.
• Multiplicació per un escalar: 2 · a = 2(x, y) = (2x, 2y). El resultat és un vector.

Càlcul de Punts i Vectors

Trobar un punt d'un vector

Exemple: (6, k) = x(5, -1). Per resoldre-ho: 6 = 5x i k = -x, per així saber la solució de k.

Trobar el vector entre dos punts

Donats els punts A(x1, y1) i B(x2, y2), el vector es calcula com: AB = B - A.

Propietats i Tipus de Vectors

Trobar un vector equipol·lent

Els vectors equipol·lents tenen mòduls iguals: mòdul a = k · mòdul

Operaciones con Monomios y Polinomios

Definición 3.6: Para multiplicar o dividir dos monomios, se multiplican o dividen sus coeficientes y se suman o restan los exponentes de las partes literales iguales, respectivamente. Se pueden multiplicar o dividir dos monomios que no sean semejantes.

Definición 3.9: Para multiplicar dos polinomios se va multiplicando cada monomio del primer factor por cada uno de los monomios del segundo factor y a continuación se reducen los términos semejantes.

MCD y MCM de Polinomios

MCD y MCM de polinomios: Para calcular el m.c.d y m.c.m de dos o más polinomios se procede de la siguiente manera:

1. Se factorizan ambos polinomios.
2. El m.c.d es igual al producto de todos los factores comunes de los polinomios afectados del

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos). La fórmula es:

h² = a² + b²

Donde:

• h es la hipotenusa
• a y b son los catetos

Ejemplo:

Si a = 4 y b = 3, entonces:

h² = 4² + 3²

h² = 16 + 9

h² = 25

h = √25

h = 5

Razones Trigonométricas

Las razones trigonométricas son relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo y sus ángulos agudos. Las principales razones trigonométricas son:

• Seno (sen): cateto opuesto / hipotenusa
• Coseno (cos): cateto adyacente / hipotenusa
• Tangente (tan): cateto opuesto / cateto adyacente
• Cotangente (cot): cateto adyacente / cateto opuesto
• Secante (sec)

HALLAR DOMINIO1. POLINOMIOS: Dominio es R (todos los reales).2. FRACCIÓN ALEGBRÁICA: Se iguala el denominador a 0 y se resuelve. El dominio será R - {esos valores}.3. Raíz: a) INDICE IMPAR: Dominio = Rb)≥ 0, y resolver como inecuación.4. LOGARITMOS: Se hace lo de dentro del logaritmo > 0 y se resuelve.5. FUNCIONES EXPONENCIALES: Su dominio es R.2. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES CON INVERSAFUNCIÓN INVERSA Se cambia la f(x) por y.Se despeja la x.Se cambia la “x” por “f⁻¹(x)” y la “y” por “x”.COMPOSICIÓN DE FUNCIONESFoG(x) = F[g(x)]GoF3. TRASLACIÓN Y DILATACIÓN TRASLACIÓN VERTICAL· f(x) + a = subo la función “a” cantidades.· f(x) - a = bajo la función “a” cantidades.TRASLACIÓN HORIZONTAL· f(x+a) = desplazo... Continuar leyendo "Cálculo de Dominio, Límites y Tipos de Discontinuidad: Fórmulas Esenciales de Funciones" »

1) Posición Relativa de 2 rectas en el espacio

Matrices A y A*

Paralelas

Secantes

Coincidentes

Se cruzan

Rango A {Ur, Us}

1

2

1

2

Rango A* {Ur,Us,Pr,Ps}

2

2

1

3

2) Dependencia o independencia de vectores

A) Determinante (u, v, w) no es 0 => son linealmente dependientes

B) Determinante (u, v, w) =0 => son Linealmente independientes

3) Posición de 2 rectas como intersección de 2 Planos

r: { Ax+By+Cz+D=0s: { A´´x+B´´y+C´´z+D´´

{ A´x+B´y+C´z+D´=0{ A´´´x+B´´´y+C´´´z+D´´´=0

Esto forma un sistema de 4 ecuaciones Y 3 incógnitas y si tomamos las matrices A y A* , puede ocurrir:

Rango A*=4

SI

SE CRUZAN

Rango A=3

Rango A*=3

SCD

SE CORTAN EN UN PUNTO

Rango A=2

Rango A*=3

SI

PARALELAS

Rango A=2

Rango A*=2

SCD

COINCIDENTES

4) Posición Relativa Recta y Plano

Una... Continuar leyendo "Posiciones Relativas de Rectas y Planos en el Espacio 3D" »

Evolució i Variació Social del Català

Evaluación de Conceptos en Métodos Numéricos

• La factorización de Cholesky es una manera de resolver sistemas de ecuaciones de forma lineal: V
• El método de bisección establece que toda función en un intervalo cerrado [a, b] toma todos los valores intermedios: V
• El método de la secante aproxima el cero de una función evaluando la derivada: F (se evalúa en la función)
• Las sucesiones de aproximaciones generadas por el método de la secante utilizan P0=a y P1=b: V
• El objetivo de Newton-Raphson para estimar la solución de una ecuación es producir aproximaciones sucesivas: V
• Lo que busca Newton-Raphson es la raíz de corte en el eje Y: FALSO (la raíz del punto con el eje X)
• El método de Simpson busca el área bajo y sobre la curva debido a

Conceptos Fundamentales de Estadística

Estadística: Métodos matemáticos para recolectar, organizar e interpretar datos, así como para esbozar conclusiones y tomar decisiones razonables basados en tales análisis.

Población: Colección de un número finito o virtualmente infinito de datos sobre algún fenómeno de interés.

Muestra: Subconjunto representativo seleccionado de una población que debe reflejar las características esenciales de la población de la cual fue tomada.

Muestra Aleatoria o Equiprobable: Es una muestra en la que cada miembro o parte de la población tiene igual probabilidad de ser incluido.

Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. (En un yacimiento, son los sondajes)... Continuar leyendo "Fundamentos de Estadística y Geología Minera: Conceptos Esenciales y Normativas" »