Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Posición relativa

Dos planos

• r(A)=1, r(A*)=1: Coincidentes
• r(A)=1, r(A)=2: Paralelos
• r(A)=2, r(A)=2: Secantes

Recta y plano

• 0t=b: Paralelos
• t=b: Secantes
• 0t=0: Coincidentes

Tres planos

• r(A)=1, r(A)=1: Coincidentes
• r(A)=1, r(A)=2: Paralelos
• r(A)=2, r(A)=2: Secantes a una recta
• r(A)=2, r(A)=3: Nada en común
• r(A)=3, r(A)=3: Se cortan en un punto

Dos rectas

• r(A)=2, r(A)=2: Coincidentes
• r(A)=2, r(A)=3: Paralelas
• r(A)=3, r(A)=3: Se cortan en un punto
• r(A)=3, r(A)=4: Se cruzan en el espacio

Distancias

• Distancia entre dos puntos: d(P,Q) = √(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²
• Distancia de un punto a un plano: |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)
• Distancia de un punto a una recta: d(P,r) = |v × AP| / |v|
• Distancia entre dos rectas:
  • Secantes o coincidentes:

Dimensionamiento Económico de Tuberías en Tres Tramos

Este apartado detalla el proceso para determinar los diámetros óptimos de una tubería compuesta por tres tramos, aplicando un criterio de dimensionamiento económico.

Parámetros Iniciales

• Cota de origen (Z₀): 80 m
• Caudal tramo 1 (q₁): 0,15 m³/s
• Longitud tramo 1 (L₁): 800 m
• Caudal tramo 2 (q₂): 0,1 m³/s
• Longitud tramo 2 (L₂): 600 m
• Caudal tramo 3 (q₃): 0,05 m³/s
• Longitud tramo 3 (L₃): 700 m
• Cota final (Z₃): 50 m
• Costo de la tubería (C): 237,67 €/m (este valor es un coeficiente, como se verá en el dimensionamiento económico)

Cálculo de la Altura Disponible (ΔH)

La altura disponible para vencer las pérdidas de carga se calcula como la diferencia de cotas más la presión final requerida (expresada... Continuar leyendo "Optimización de Diámetros en Tuberías: Métodos de Dimensionamiento Hidráulico y Económico" »

Definición del diferencial:

El diferencial es una variable que proviene de obtener la diferencia entre dos valores sucesivos, y es tan pequeña que se considera infinitamente pequeña.

Funciones y sus Derivadas

Función constante:

f(u) = k     f´(u) = 0 donde k representa cualquier número.

La derivada de una función constante es siempre cero.

Función identidad:

f(u) = u     f´(u) = 1

La derivada de una función identidad es la unidad. Cuando esta función le precede un coeficiente constante, entonces el resultado es el número, ya que la unidad multiplicada por el número da como resultado el mismo número.

Función potencia:

La forma de derivar la función potencia es multiplicando el cociente por el exponente y al exponente se le resta... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Derivadas en Cálculo" »

Comprensió i Escriptura: Més enllà del Codi

1. Comprensió del Codi vs. Comprensió del Text

Les autores afirmen que: potser el que ens ha confós és el fet que una persona comprèn el funcionament del codi, però no tothom qui domina el codi comprèn el que llegeix. Podríeu trobar exemples de totes dues situacions? Podríeu trobar-ne en la vostra pròpia experiència com a alumne o en infants que coneixeu?

Un exemple serien aquelles persones que són analfabets funcionals, ja que poden llegir el text i descodificar-lo, però no comprendre'n el significat. Per exemple, algun estudi s'ha fet en què s'oferia als infants una llista telefònica per resoldre un problema i havien de buscar un telèfon, però no sabien com fer-ho.

Per això és... Continuar leyendo "Comprensió Lectora i Escriptura: Desmuntant Mites Educatius" »

Makiavelo eta Filosofia Politikoa

Niccolò Machiavelli Errenazimenduko filosofoa zen.

• Gizabanakoak autonomiaz eraikitzen zuen bere bizitza.
• Askatasunaren aldekoa eta despotismoaren aurkakoa.

Makiaveloren Kontzeptu Nagusiak

Politika: Boterea lortu eta botereari eusteko artea.

Estatu-arrazoia: Garrantzitsuena erabiltzen diren bitartekoak eraginkorrak izatea da.

Bitartekoen balioa emaitzen arabera epaitzen da (ikuspegi tradizionalak bitartekoak legitimoak izatea eskatzen zuen).

Politika eta Moralaren Bereizketa

Politika eta moral alorrak erabat bereizten zituen.

Bertutetsutzat (moralki zuzentzat) jotzen dena batzuetan desegokia izan daiteke estatua defendatzeko.

Moralki desegokitzat jotzen dena batzuetan oso egokia izan daiteke estatua defendatzeko. Gobernariak... Continuar leyendo "Makiavelo, Utopia eta Gobernu Formak: Filosofia Politikoa" »

Zergatiak

Testu hau idazteko zergatiak hauek dira:

• Lan- eta bizi-baldintza penagarriak: Lan-jardunaldi luzeak eta erregulatu gabeak (12-14 ordu egunean, 6-7 egun astean).
• Soldata baxuak: Eguneko kobratzea, erosteko ahalmen txikiarekin.
• Enpresen kontrola: Langileak enpresek inposatutako lekuetan erosi, kontsumitu eta lo egitera behartuta zeuden, merkatu librean baino garestiago.
• Bizi-baldintza kaskarrak: Etxebizitza gutxi eta kalitate txarrekoak, elikadura eskasa eta Estatuaren babesik eza.

Idazlearen kontzientzia soziala eta politikoa: Bizkaiko meatzarien eta langileen egoera larriaz oharturik, hura ezagutarazi eta salatzeko beharra sentitu zuen.

Ondorioak

Industrializazioa aurrera joan zen, beharrezkoak ziren kapitalak, merkatuak, teknologia eta eskulana... Continuar leyendo "Langile-mugimenduaren jatorria eta bilakaera Bizkaian" »

Rectas en el Espacio

Las rectas pueden ser definidas de varias maneras:

• Por un punto y un vector director: Un punto P(x₀, y₀, z₀) y un vector director V_r(v₁, v₂, v₃).
• Por dos puntos: Dos puntos P₁(x₁, y₁, z₁) y P₂(x₂, y₂, z₂), donde el vector director V_r = P₁P₂.

Ecuaciones de la Recta

• Vectorial: (x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + λ(v₁,v₂,v₃)
• Paramétrica:
  x = x₀ + λv₁
  y = y₀ + λv₂
  z = z₀ + λv₃
• Continua: (x - x₀)/v₁ = (y - y₀)/v₂ = (z - z₀)/v₃
• General o Implícita: Representa la recta como la intersección de dos planos.
  A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0
  A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Planos en el Espacio

Los planos pueden ser definidos de varias maneras:

• Por un punto y dos vectores directores: Un

ROC de la Transformada Z

• P1: La ROC de X(z) consiste en un anillo en el plano z centrado alrededor del origen.
• P2: La ROC no contiene ningún polo.
• P3: Si x[n] es de duración finita, entonces la ROC es el plano z completo, excepto posiblemente en z=0 y/o z=∞.
• P4: Si x[n] es una secuencia derecha y si el círculo |z|=r₀ está en la ROC, entonces todos los valores finitos de z para los cuales |z|>r₀ también estarán en la ROC.
• P5: Si x[n] es una secuencia izquierda y si el círculo |z|=r₀ está en la ROC, entonces todos los valores z para los cuales 0<|z|<r₀ también estarán en la ROC.
• P6: Si x[n] es bilateral y si el círculo |z|=r₀ está en la ROC, entonces esta consistirá en un anillo en el plano z que incluye al círculo |z|=r₀.
• P7:

Conceptos Fundamentales de Estadística

La Estadística es la ciencia que se encarga de la recopilación, organización, presentación, análisis e interpretación de datos para la toma de decisiones.

Elementos Clave en Estadística

• Población: Conjunto total de individuos, objetos o eventos bien definidos sobre los cuales se desea estudiar una característica específica.
• Marco Muestral: Es la lista o registro de todos los elementos de la población de la cual se puede obtener información.
• Muestra: Un subconjunto representativo y aleatorio de la población, seleccionado del marco muestral, del cual se recolectará la información. Es crucial que sea representativa para que las conclusiones sean válidas para la población.

Variables Estadísticas

Una... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Estadística Descriptiva: Términos Clave y Medidas" »