Aplicación del Teorema del Coseno y Simplificación de Funciones Trigonométricas

Simplificación de Expresiones Trigonométricas

A continuación, se presenta el desarrollo detallado paso a paso para simplificar una diferencia de funciones trigonométricas utilizando identidades de suma y resta de ángulos.

• Paso 1: Expansión del primer término

  Utilizando la identidad del seno de la suma, expandimos la primera expresión:

  $$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\sin(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x)$$

• Paso 2: Expansión del segundo término

  De igual manera, expandimos la segunda expresión utilizando la identidad del seno de la resta:

  $$\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) - \frac{1}{2}\sin(x)$$

• Paso 3: Resta de las expresiones

  Restamos la segunda expresión de la primera:

  $$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\sin(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) - \frac{1}{2}\sin(x)\right)$$

• Paso 4: Simplificación de signos

  Aplicamos la ley de los signos para eliminar el paréntesis negativo:

  $$-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) - \frac{1}{2}\sin(x)\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) + \frac{1}{2}\sin(x)$$

• Paso 5: Agrupación de términos semejantes

  Sumamos los términos correspondientes:

  $$\frac{1}{2}\sin(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) + \frac{1}{2}\sin(x)$$

• Paso 6: Resultado final simplificado

  Al simplificar la expresión obtenemos:

  $$\sqrt{3}\cos(x) + \sin(x)$$

Resolución de Problema Geométrico: Cálculo de Longitud de Tubería

Problema: ¿Qué longitud de tubería sería necesaria para cambiar el viejo canal si se coloca en línea recta?

Para resolver el problema, lo primero que hacemos es la representación gráfica utilizando el plano cartesiano. Trazamos el segmento de 400 m hacia el norte, haciéndolo coincidir con el eje Y. Luego, midiendo un ángulo de 20°30' en dirección NE (Nordeste), trazamos un segmento de 500 m.

Uniendo el punto de origen del sistema de coordenadas con el fin del segmento de 500 m mediante un segmento que llamaremos X, vemos que se forma un triángulo. Es posible hallar la magnitud del segmento X aplicando el teorema del coseno.

Para aplicar el teorema del coseno, primero debemos hallar el ángulo (α) comprendido entre los segmentos de 400 y 500 metros. Convirtiendo el ángulo de 20°30' al sistema decimal y aplicando la geometría del ángulo llano, vemos que alfa es igual a:

$$\alpha = 180^\circ - 20.5^\circ = 159.5^\circ$$

Aplicando entonces el teorema del coseno, hallamos a X de la siguiente manera:

$$X^2 = 400^2 + 500^2 - 2(400)(500)\cos(159.5^\circ)$$

Despejando X, vemos que este segmento toma el valor de 885.8 m.

Respuesta: La respuesta al problema es que se necesitarían 885.8 m de tubería colocada en línea recta para cambiar el viejo canal.