Fundamentos de Geometría Afín y Métrica en el Espacio

Posición relativa

Dos planos

• r(A)=1, r(A*)=1: Coincidentes
• r(A)=1, r(A)=2: Paralelos
• r(A)=2, r(A)=2: Secantes

Recta y plano

• 0t=b: Paralelos
• t=b: Secantes
• 0t=0: Coincidentes

Tres planos

• r(A)=1, r(A)=1: Coincidentes
• r(A)=1, r(A)=2: Paralelos
• r(A)=2, r(A)=2: Secantes a una recta
• r(A)=2, r(A)=3: Nada en común
• r(A)=3, r(A)=3: Se cortan en un punto

Dos rectas

• r(A)=2, r(A)=2: Coincidentes
• r(A)=2, r(A)=3: Paralelas
• r(A)=3, r(A)=3: Se cortan en un punto
• r(A)=3, r(A)=4: Se cruzan en el espacio

Distancias

• Distancia entre dos puntos: d(P,Q) = √(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²
• Distancia de un punto a un plano: |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)
• Distancia de un punto a una recta: d(P,r) = |v × AP| / |v|
• Distancia entre dos rectas:
  • Secantes o coincidentes: 0
  • Paralelas: Distancia de un punto a una recta
  • Se cruzan: Plano que contiene a r y es paralelo a la otra

Áreas y volúmenes

Áreas

• Área triángulo: 1/2 |AB × AC|
• Área paralelogramo: |AB × AC|
• Área tetraedro: 1/6 |AB × AC × AD| (Nota: corrección técnica aplicada)

Producto mixto (Volumen)

• Paralelepípedo: |A · (B × C)|
• Tetraedro: 1/6 |A · (B × C)|

Problemas geométricos

Proyección de un punto sobre un plano

1. Hallar la recta r que pasa por P y es perpendicular al plano.
2. Intersección de r con el plano para obtener el punto P'.

Proyección de un punto sobre una recta

1. Hallar el plano perpendicular a r que contiene a P.
2. Intersección del plano con r para obtener el punto P'.

Proyección de una recta sobre un plano

1. Hallar el plano que contiene a r y es perpendicular al plano dado.
2. La proyección es la intersección de ambos planos.

Elementos simétricos

• Simétrico de un punto respecto a un plano: Hallar la proyección M del punto sobre el plano; M es el punto medio del segmento.
• Simétrico de un punto respecto a una recta: Hallar la proyección M del punto sobre la recta; M es el punto medio del segmento.
• Simétrico de un punto respecto a otro: M es el punto medio entre P y P'.

Punto medio

M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2)