Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Botere Politikoaren Jatorria eta Zilegitasuna

Zilegitasuna

Botere politikoa legitimoa ote den galdetzen badugu, ez dugu botere horrek zer jatorri duen jakin nahi. Fenomeno batek jatorri bat edo bestea izan, fenomeno hori ona edo txarra den galdetu behar dugu, fenomeno horrekin jarraitzea edo hobetzea komeni den ala ez galdetu behar da.

Filosofo gehienen arabera, botere politikoa ezinbestekoa da gizarteak behar bezala funtzionatzeko. Gainera, zenbat eta biztanle gehiago izan, orduan eta premiazkoagoa da. Baina botere politiko guztiak ez dira legitimoak. Irizpideak behar ditugu, zer den legitimoa eta zer ez bereizteko. Botere politikoa legitimoa den jakiteko, dagokion funtzioa ondo betetzen ote duen hartu behar da kontuan, herritar batek besteari... Continuar leyendo "Botere Politikoaren Jatorria, Zilegitasuna eta Estatu Modernoaren Oinarriak" »

Conceptos Fundamentales de Trigonometría

Definiciones Clave

Tangente: Segmento comprendido desde el punto A (1, 0) hasta la intersección de la prolongación del radio vector con la recta tangente a la circunferencia goniométrica en (1, 0). Se representa como AT = tg α.

Radián: Es la medida del ángulo cuyo arco comprendido mide lo mismo que el radio de la circunferencia.

Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo (0° a 90°)

Las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de un ángulo agudo, α, se definen a partir de un triángulo rectángulo ABC:

Relaciones Trigonométricas Fundamentales

Entre las razones trigonométricas existen las siguientes relaciones fundamentales:

1. sen²x + cos²x = 1
2. tg x = sen x / cos x
3. 1 + tg²x = 1 / cos²x

Demostración

Validez de una Prueba Diagnóstica

Se define como la capacidad de la prueba para discriminar entre casos y no casos para una enfermedad determinada. Los indicadores de validez son:

• Sensibilidad: Probabilidad de que una medida clasifique correctamente a un individuo enfermo.
• Especificidad: Probabilidad de que una medida clasifique correctamente a una persona no enferma.
• Valor Predictivo Positivo (VP+): Probabilidad de que un individuo con un resultado positivo tenga la enfermedad en estudio.
• Valor Predictivo Negativo (VP-): Probabilidad de que un individuo con un resultado negativo sea una persona sana.
• Razón de Verosimilitud Positiva (RV+): Cociente entre la fracción de verdaderos positivos (sensibilidad) y la fracción de falsos positivos (1 -

Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de euros, por la función

a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: B ‘(t) = 3t2/ 4 -6t + 9= 0 ; t=2 ; t=6. La función es creciente en el intervalo: (0,2) U (6,8) y decreciente en el intervalo: (2,6). Tiene un máximo relativo en el punto (2,8) y un mínimo relativo en (6,0). Calculamos los extremos absolutos.
Para ello vemos los valores que toma la función en los extremos del intervalo [0,8]. -B(0)= 0 ; -B(8)=8. Por lo tanto, el máximo absoluto es 8 y se alcanza para t=2 y t=8. El mínimo absoluto es 0 y se alcanza para t=0 y t=6. B) Hacemos la gráfica de la función: Viendo la gráfica, observamos que los beneficios crecen en los años... Continuar leyendo "Optimización de Funciones y Derivadas: Análisis y Aplicaciones" »

Problema 1: Estudio de Continuidad, Derivabilidad y Recta Tangente

Sea la función definida a trozos:

f (x) =

• 1/(2-x) si x < 1
• x² - 6x + 6 si x ≥ 1

a) Continuidad y Derivabilidad

La función racional 1/(2-x) es continua y derivable en ℝ - {2}. La función polinómica x² - 6x + 6 es continua y derivable en ℝ. Por lo tanto, solo necesitamos estudiar la continuidad y la derivabilidad en el punto de unión, x = 1.

Estudio de la Continuidad en x = 1:

• Límite de x cuando tiende a 1 por la izquierda de 1/(2-x) = 1.
• Límite de x cuando tiende a 1 por la derecha de x² - 6x + 6 = 1.
• Evaluación de la función en el punto: f(1) = 1² - 6(1) + 6 = 1.

Dado que el límite por la izquierda es igual al límite por la derecha y ambos son iguales a f(1), la... Continuar leyendo "Resolución de Problemas de Cálculo Diferencial: Funciones, Derivadas y Puntos Clave" »

Introducción a los Procedimientos Estadísticos en SPSS

En SPSS podemos utilizar diferentes procedimientos para obtener estadísticos y gráficos. La mayoría se encuentran en los menús Estadísticos Descriptivos y Gráficos.

Estadísticos Descriptivos con SPSS

Utilizaremos el procedimiento Frecuencias del menú Estadísticos Descriptivos para obtener una descripción de las variables cualitativas de la matriz de datos.

Vamos ahora a describir el procedimiento de SPSS para obtener estadísticos descriptivos de variables cuantitativas. Seleccionamos nuevamente Estadísticos Descriptivos del menú Analizar.

Naturaleza de los Datos

Distribución Normal o Paramétrica

Distribución normal o paramétrica

Distribución No Paramétrica

Distribución no paramétrica

Pruebas

Sea la función f ( x ) = xcubo -24xcuadrado +4x

a) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: f ''(x) = 6x - 48 = 0 ; x = 8, que no está en su dominio. La función es cóncava en el intervalo (-∞,8) y convexa en el intervalo (8,+∞). Tiene un punto de inflexion en (8, -992). B) La ecuación de la tangente es: y -f(-2) = f’(-2)(x+2). F(-2)= (-2)cubo -24(-2)
cuadrado + 4(-2) = -112. F’(x)= 3xcuadrado - 48x +4 ; f’(-2)= 12+96+4=112. Sustituyendo, tenemos que: y -f(-2) = f’(-2)(x+2) ; y+112= 112(x+2) ; y=112x +112. C) Calculamos la primera derivada. F’(x)= 3xcuadrado -48x +4 ; f’(1)= 3(1)cuadrado -48 por 1+ 4= -41<0. Es="">0.> Derivadas:
f(x) = (x2 -5)cubo/3-xcuadrado = f’(x) = 3(x2-5)cuadrado por 2x (3-x2)... Continuar leyendo "Optimización de Funciones y Cálculo de Derivadas en Problemas de Cálculo" »

1. La diversitat lingüística

Aproximadament, hi ha entre 6.000 i 6.800 llengües al món. Es preveu que al segle XXI desapareixeran 2.000 llengües.

2. Classificació de les llengües

Es classifiquen segons criteris lingüístics i criteris d'ús.

2.1 Criteris lingüístics

2.1.1 Classificació genètica

Es basa en la noció de parentiu lingüístic. Una família lingüística és el conjunt de llengües que presenten un origen comú i comparteixen característiques lèxiques i estructurals. Es creu que una llengua no documentada (l'indoeuropeu) va ser la que va originar totes les altres.

2.1.2 Classificació tipològica

Es basa en les similituds estructurals, és a dir, en la manera de formar unitats lingüístiques. S'agrupen en tres grups:

• Llengües

1. Verdadero o Falso: Conceptos Fundamentales

• (V) En la función f(x) = 2x + 3, la gráfica es una línea recta y su pendiente es m = 2.
• (F) Todas las funciones trigonométricas son continuas. Nota: Pueden ser discontinuas.
• (F) En todas las funciones, el término independiente (que no tiene "x") representa la ordenada en el origen. Nota: En algunas representa la pendiente.
• (V) La gráfica de una función cuadrática puede ser abierta hacia arriba o hacia abajo.
• (F) Una función polinómica puede ser continua o discontinua. Nota: Solo puede ser continua.
• (F) En una función constante, la variable dependiente (y) adopta diferentes valores dependiendo del valor de la variable independiente (x). Nota: Tiene solo una variable.
• (V) La función f(x) = sen(

Problema 1: Determinación de Parámetros y Estudio de una Función por Tramos

Se nos presenta la función definida por tramos:

f(x) = ax² - 2x si x ≤ 2

f(x) = x/2 - b si x > 2

a) Cálculo de los Parámetros 'a' y 'b'

Para que la función f(x) sea continua en ℝ, debe ser continua en el punto de unión x = 2.

• La función f(x) = ax² - 2x es continua en ℝ, en particular para x ≤ 2.
• La función f(x) = x/2 - b es continua en ℝ, en particular para x > 2.

La condición de continuidad en x = 2 implica que f(2) = lim (x→2⁻) f(x) = lim (x→2⁺) f(x).

• Calculamos el valor de la función y el límite por la izquierda: f(2) = lim (x→2⁻) (ax² - 2x) = a(2)² - 2(2) = 4a - 4.
• Calculamos el límite por la derecha: lim (x→2⁺) (x/2 - b)