Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Secciones Cónicas: Definiciones y Lugares Geométricos

Elipse

• Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.
• Propiedad 2: Lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la focal de centro el otro foco.
• Circunferencia focal: Tiene su centro en un foco y su radio es la constante k (2a = AB). Existen dos.
• Circunferencia principal: Lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las infinitas tangentes a la elipse. Su centro es el de la elipse y su radio es el semieje mayor (oa).

Hipérbola

• Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos puntos fijos

Problema 1

Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido.

a) Continuidad en t=5

Estudiamos la continuidad solo en t=5, ya que t² es continua en R y en particular en 0 ≤ t ≤ 5; y la función (100t - 250) / (t + 5) es continua en R - {-5} y en particular en t > 5.

lim (x → 5^-) de t² = 25.

lim (x → 5⁺) de (100t - 250) / (t + 5) = 25.

Igualamos los límites: P(5). Es continua.

b) Derivabilidad en t=5

Calculamos la función derivada:

P'(t) = 2t si 0 < t < 5

P'(t) = 750 / (t+5)² si t > 5

P'(5^-) = 10.

P'(5⁺) = 7.5.

No son iguales. No es derivable en t=5.

c) Monotonía

Estudiamos la monotonía.

2t = 0 ; t = 0. La función es creciente en 0 ≤ t ≤ 5, ya que P'(1) = +. En t = 0 tiene un mínimo absoluto o relativo.

750 / (t+5)² =... Continuar leyendo "Análisis de Continuidad, Derivabilidad y Monotonía de Funciones" »

Intervalo de Confianza para la Diferencia de Medias

a) Obtener el Intervalo de Confianza del 95% para la Diferencia de Medias

X: Gasto anual en euros de un corredor madrileño en carreras populares.

Y: Gasto anual en euros de un corredor valenciano en carreras populares.

Asumiendo independencia entre X e Y, es decir, que el gasto de un corredor madrileño no tiene relación con el de uno valenciano, y que los respectivos tamaños muestrales, n_x=300 y n_Y=250, pueden considerarse que:

Por lo tanto, el intervalo de confianza (1-α) para μ_X-μ_Y es:

donde Z_α/2 es el cuantil de la distribución N(0,1) que deja a su derecha una probabilidad igual a α/2.

Así, (sustituir la fórmula por datos) es el intervalo de confianza del 95% para μ_X-μ_Y, habiendo... Continuar leyendo "Intervalo de Confianza para la Diferencia de Medias: Corredores Madrileños vs. Valencianos" »

Conceptos básicos

1. ¿Qué entiendes por lugar geométrico?

Respuesta: Conjunto de puntos para los que se cumplen las mismas propiedades geométricas. Se puede expresar de forma verbal, mediante una ecuación o de forma gráfica.

2. ¿Qué es una pareja ordenada?

Respuesta: Es una forma de identificar un punto en el plano mediante un par (x, y), donde x es la abscisa y y la ordenada.

Ejercicios y explicaciones

Ejercicio 1. Uso del plano cartesiano: características

Utilizando un plano cartesiano, identificar sus características considerando:

• a) Cuadrantes: I (x>0, y>0), II (x<0, y>0), III (x<0, y<0), IV (x>0, y<0).
• b) Signo de las parejas ordenadas: según el cuadrante donde se encuentren.

Ejercicio 2. Obtener el lugar geométrico

Análisis de la función f(x) = 2x² - (1/3)x³

a y b) Calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero:

f’(x) = 4x - x² = 0 ; x = 0 ; x = 4.

La función es creciente en (0, 4) y decreciente en (-∞, 0) U (4, ∞). Tiene un máximo en (4, 32/3) y un mínimo en (0, 0).

c) Igualamos la derivada a 4.

f’(x) = 4x - x² = 4 ; x = 2.

Luego el punto es (2, 16/3).

Cálculo de Derivadas

Función 1: f(x) = e^3x / (1 + x²)

f’(x) = [3 * e^3x * (1 + x²) - e^3x * (2x)] / (1 + x²)² = e^3x * (3x² - 2x + 3) / (1 + x²)²

Función 2: g(x) = ln(x(1 + 3x²)) = ln(3x³ + x)

g’(x) = (9x² + 1) / (3x³ + x)

Función 3: h(x) = 2^5x + 1/x²

h’(x) = 5 * 2^5x * ln(2) - 2/x³

Estudio de Rentabilidad de Inversión en Publicidad

En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad... Continuar leyendo "Optimización de Funciones: Derivadas, Rentabilidad y Continuidad" »

Análisis de Funciones: Continuidad, Derivabilidad y Optimización

Continuidad y Derivabilidad de Funciones Definidas a Tramos

Función f(x):

Sea la función definida por tramos:

• f(x) = x³ - x² + 2, si -1 ≤ x ≤ 0
• f(x) = x² - 4x + 5, si 0 < x ≤ 1

Análisis en x = 0

Continuidad:

Para que f(x) sea continua en x = 0, debe cumplirse que f(0) = lim_x→0^- f(x) = lim_x→0⁺ f(x).

• f(0) = (0)³ - (0)² + 2 = 2
• lim_x→0^- f(x) = lim_x→0^- (x³ - x² + 2) = (0)³ - (0)² + 2 = 2
• lim_x→0⁺ f(x) = lim_x→0⁺ (x² - 4x + 5) = 0 - 0 + 5 = 5

Como los tres valores no son iguales, la función f(x) no es continua en x = 0, y por lo tanto, tampoco es derivable en x = 0.

Función h(x):

Sea la función definida por tramos:

• h(x) = -x² + x + 2, si -1 < x ≤ 0
• h(x) = -x² - x + 2,

Números Complejos: Conceptos y Operaciones

La unidad imaginaria i se define como: i² = -1, lo que implica que i = √-1.

Las potencias de i siguen un ciclo de cuatro:

• i⁰ = 1
• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = -i
• i⁴ = 1

En general, para cualquier entero n:

• i⁴ⁿ = 1
• i^(4n+1) = i
• i^(4n+2) = -1
• i^(4n+3) = -i

Conjugado y Opuesto de Números Complejos

Opuesto

El opuesto de un número complejo z = a + bi es -z = -a - bi. Se cambian los signos de ambas partes (real e imaginaria).

Conjugado

El conjugado de un número complejo z = a + bi se denota como z̄ = a - bi. Se cambia únicamente el signo de la parte imaginaria.

Representación Gráfica de Números Complejos

En el plano complejo, el eje real corresponde al eje horizontal y el eje imaginario al eje vertical.

Resolución

OA 22 - Eje Medición - 3° Básico

Demostrar que comprenden la medición del peso (g y kg):

Comparando y ordenando dos o más objetos a partir de su peso de manera informal.

Indicadores:

• Eligen objetos de su entorno para utilizarlos para determinar el peso de objetos de uso cotidiano.
• Comparan objetos de uso cotidiano, utilizando una balanza.
• Estiman el peso de frutas, útiles, mascotas, animales, usando un referente, y fundamentan su elección.
• Explican cómo funciona una balanza.
• Relacionan objetos del entorno y animales de acuerdo con su peso y fundamentan la solución.
• Calculan el peso de objetos a partir de datos conocidos del peso de unidades de un objeto (g o kg), utilizando un patrón.
• Relacionan medidas de poco y de mucho peso con respecto

Ontogenesia eta filogenesia

Ontogenesia: Izaki bizidunak etengabe aldatzen dira, baina aldaketa hori bi motatakoa izan daiteke. Banako bakoitzaren eraldaketak jaio aurretik hasi eta heriotzara arte jarraitzen du. Adibidez, arrautzatik hegazti heldura arteko garapena ontogenesiaren adibide bat da.

Filogenesia: Bereiztutako kontzeptuak edo espezieak denboran zehar aldatu direla adierazten du; espezie batzuek beste batzuk sortu dituzte.

Teoria fixista

Teoria fixista: ikuspegi honen arabera, izaki bizidunak finkoak dira eta ez dira aldatzen ("fixistak ez dira aldatzen"). Lehen azalpenek ez zuten filogenesia kontuan hartzen. Adibide historiko gisa, Aristotelesek ez zuen eboluzio-aldaketarik onartzen.

Antropogenesiaren prozesuak

Antropogenesiaren prozesuak... Continuar leyendo "Giza eboluzioa: Ontogenesia eta Antropogenesia" »

Teoría

Weierstrass

La matemática se apoya en la geometría y el álgebra. El cálculo infinitesimal, desarrollado en gran medida por Weierstrass, revolucionó la forma en que entendemos las funciones y sus propiedades.

En 1872, su discípulo Paul du Bois-Reymond publicó un teorema sobre funciones continuas que no tenían derivada en ciertos puntos. Este teorema desafió la creencia común de que una función continua siempre tenía derivada en todos sus puntos.

La continuidad de una función se entendía intuitivamente como la capacidad de trazar su gráfica sin despegar el lápiz del papel. Sin embargo, Weierstrass demostró la continuidad en un lenguaje analítico, sin necesidad de imágenes geométricas.

Este enfoque analítico proporcionó... Continuar leyendo "Teorema de Weierstrass: Funciones Continuas y Derivabilidad" »