Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por:

Maximización de Beneficios

A) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: f'(x) = -4x + 36 = 0 ; x=9. La función es creciente en el intervalo: (0, 9) y decreciente en el intervalo: (9, + ∞). Tiene un máximo relativo en el punto (9, 300). Luego, la inversión que maximiza el beneficio es x = 9 mil € y el beneficio óptimo es f (9) = 300 mil €.

Análisis de la Derivada

b) f ‘(7) = -4 * 7 + 36 = 8 > 0. Al ser positivo el valor de la derivada de esta función en ese punto, nos indica que la función es creciente en dicho punto.

Cálculo de Inversión

Glosario de Conceptos Estadísticos y Probabilísticos

Variables, Población y Muestreo

Característica de los **elementos** de una **población** que puede tomar cualquier valor y que se evalúa a través de una muestra.

Variable

Información **numérica** que se obtiene de una población.

Parámetro

Técnica que se emplea para obtener **información** de un universo a través de un grupo de sus integrantes.

Muestreo

Integrante de una población.

Elemento

Variable que clasifica siguiendo un **orden o jerarquía**.

Ordinal

Variable que clasifica **sin orden o jerarquía**.

Nominal

Variable que puede tomar **valores enteros y/o fraccionarios**.

Continua

Característica de los **elementos** de una población que puede tomar cualquier valor y que se evalúa a

Espacio Muestral

Se llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se designa como E.

Ejemplo: ¿Cuál es el espacio muestral que corresponde al lanzamiento de un dado?

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Suceso

Un suceso es cualquier subconjunto de E.

Ejemplo: ¿Qué elementos forman el suceso “obtener número par” cuando lanzamos un dado?

A = {2, 4, 6}

Suceso Elemental

Un suceso elemental es aquel formado por cada uno de los elementos que forman el espacio muestral.

Ejemplo: ¿Cuáles son los sucesos elementales que se obtienen al lanzar un dado?

A = {1}, B = {2}, C = {3}, D = {4}, E = {5}, F = {6}

Suceso Seguro

Es el que ocurre siempre en un determinado experimento. Se representa por E.

Ejemplo: ¿Qué elementos... Continuar leyendo "Probabilidad: Conceptos básicos y aplicaciones" »

Fórmulas Fundamentales de Progresiones Aritméticas

A continuación, se presentan las fórmulas esenciales para trabajar con progresiones aritméticas, seguidas de ejercicios resueltos para su aplicación práctica.

Fórmulas Clave

• Razón (r): La diferencia común entre términos consecutivos.

  r = (An - A1) / (n - 1)

• Número de términos (n): Cantidad de elementos en la progresión.

  n = (An - A1) / r + 1

• Primer término (A1): El valor inicial de la progresión.

  A1 = An - (n - 1) * r

• Término general (An): El valor de cualquier término 'n' en la progresión.

  An = A1 + (n - 1) * r

Ejercicios Resueltos de Progresiones Aritméticas

Problema #1: Cálculo del Término General (An)

Calcula el término general (An) en una progresión aritmética donde el primer

Repaso de Conceptos Clave en Cálculo y Álgebra Lineal

A continuación, se revisan afirmaciones sobre propiedades del cálculo diferencial y conceptos fundamentales del álgebra lineal, indicando su veracidad y proporcionando la justificación correspondiente.

Cálculo Diferencial: Propiedades de las Derivadas

1. Derivada de una Suma de Funciones

Dadas dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, se cumple que $\frac{d}{dx} (f + g)(x) = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x)$.

• Verdadero. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus derivadas individuales: $[f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x)$.

2. Derivada de un Producto de Funciones

Dadas dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, se cumple que $\frac{d}{dx} (fg)(x) = [\frac{d}{dx} f(x)][\frac{d}{dx}... Continuar leyendo "Propiedades Fundamentales del Cálculo Diferencial y Álgebra Lineal" »

Problema 1: Estudio Completo de una Función Definida a Trozos

Sea la función $f(x)$ definida como:

$$f(x) = \begin{cases} (x+1)^2 & \text{si } x \le 1 \\ \frac{4}{x} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

a) Estudio de la Continuidad y Derivabilidad

La función racional $g(x) = 4/x$ es continua y derivable en $\mathbb{R} - \{0\}$. Dado que en este tramo trabajamos con $x>1$, es continua y derivable. La función polinómica $h(x) = (x+1)^2$ es continua y derivable en $\mathbb{R}$.

Por lo tanto, solo es necesario estudiar la continuidad y la derivabilidad en el punto de unión $x=1$.

Continuidad en $x=1$

• Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 1^-} (x+1)^2 = (1+1)^2 = 4$.
• Límite por la derecha: $\lim_{x \to 1^+} \frac{4}{x} = \frac{4}{1} =

Factorización: Casos y Ejemplos

Caso I: Factor Común

Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor Común Monomio

Factor Común por Agrupación de Términos

ab + ac + ad = a ( b + c + d)

ax + bx + ay + by = (a + b )( x + y )

Factor Común Polinomio

Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente) para luego operar; ejemplo:

ab - bc = b(a-c)

Caso II: Factor Común por Agrupación de Términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.... Continuar leyendo "Guía Práctica de Factorización: Casos y Ejemplos" »

Ejercicios de Probabilidad y Estadística

1. Sucesos Independientes

Sean A y B dos sucesos independientes tales que P(B) = 0,05 y P(A|B) = 0,35.

• a) ¿Cuál es la probabilidad de que suceda al menos uno de ellos?
• b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso A pero no el B?

2. Probabilidad en Agrupaciones

En una agrupación musical, el 60% de sus componentes son mujeres. El 20% de las mujeres y el 30% de los hombres de la citada agrupación están jubilados.

• a) ¿Cuál es la probabilidad de que un componente de la agrupación, elegido al azar, esté jubilado?
• b) Sabiendo que un componente de la agrupación, elegido al azar, está jubilado, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

3. Probabilidad en Nacimientos

En un hospital se han producido... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Probabilidad y Estadística para Bachillerato" »

Nombres Reals: Conceptes Fonamentals

Els nombres reals són un conjunt fonamental en matemàtiques que inclou tant els nombres racionals com els irracionals. A continuació, explorarem les seves definicions, propietats i operacions essencials.

Nombres Racionals (Q)

Són els nombres que es poden expressar com una fracció a/b, on a i b són nombres enters i el denominador b és diferent de 0. Matemàticament, es representen com:

Q = {a/b | a, b ∈ ℤ, b ≠ 0}

Valor Absolut d'un Nombre Real

El valor absolut d'un nombre real a, denotat com |a|, és el mateix nombre a si és positiu o zero, i el seu oposat si és negatiu. Es defineix com:

|a| = { a si a ≥ 0; -a si a < 0 }

Entorn de Centre a i Radi r

Un entorn de centre a i radi r és l'interval... Continuar leyendo "Nombres Reals: Conceptes Fonamentals, Propietats i Operacions Essencials" »

Análisis de Audiencia Radiofónica

El porcentaje de personas que sintonizan un programa de radio se modela mediante una función. Analicemos su comportamiento:

1. a) S(6) = 660 - 231 * 6 + 27 * 6² - 6³ = 30. Esto indica que al comenzar la emisión, un 30% de las personas sintonizan el programa.

   S(12) = 660 - 231 * 12 + 27 * 12² - 12³ = 48. Al cierre de la emisión, un 48% de las personas están sintonizando.

2. b) Para encontrar los puntos críticos, calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero:

   S'(t) = -231 + 54t - 3t² = 0 ; t = 7 ; t = 11.

   Evaluamos S(t) para t = 6, 7, 11 y 12:

   S(6) = 30 ; S(7) = 23 ; S(11) = 55 ; S(12) = 48.

   El máximo de audiencia es del 55% y se alcanza a las 11 horas. El mínimo de audiencia es del 23% y se alcanza