Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Factorización de un monomio a partir de un polinomio

Factorización de un monomio a partir de un polinomio:

1. Determina el MCD (Máximo Común Divisor) de todos los términos del polinomio.

• Calcular el MCD de los coeficientes de cada término.
• Tomar las variables comunes de cada término.
• De estas variables, escoger las elevadas al menor exponente común a todos los términos.
• Multiplicar el MCD de los coeficientes por las variables elevadas al menor exponente.

2. Escribir cada término como el producto del MCD y otros factores.
3. Utilizar la propiedad distributiva para factorizar el MCD.

Factorización por agrupamiento (polinomio de cuatro términos)

Factorizar un polinomio de cuatro términos por medio de agrupamiento:

1. Determina si existe algún factor común

Representación de una Función

Para representar gráficamente una función, se deben seguir los siguientes pasos:

• 1) Dominio: Determinar el conjunto de valores para los cuales la función existe.
• 2) Puntos de corte:
  • Con el eje Y (x=0).
  • Con el eje X (y=0).
  Con los números obtenidos, establecemos los puntos (x, 0) y (0, y).
• 3) Asíntotas:
  • Asíntota Vertical (AV): Se calcula el límite cuando x tiende al punto de discontinuidad. Si el resultado es infinito, se calculan los límites por la izquierda y por la derecha, observando los signos del infinito.
  • Asíntota Horizontal (AH): Se calcula el límite de la función cuando x tiende a infinito.
• 4) Crecimiento y decrecimiento: Se realiza la primera derivada de la función y se iguala a 0.
  • Si f'(x) > 0,

Enunciado

Sea la función f definida por tramos:

• f(x) = -x + 4, si x < 2
• f(x) = 4/x, si 2 ≤ x < 4
• f(x) = x² - 4x + 1, si x ≥ 4

Estudio de la continuidad

Las tres expresiones que definen f son continuas en los intervalos indicados: la función -x + 4 es continua y derivable en R, en particular en (-∞, 2); la función 4/x es continua y derivable en R \ {0}, en particular en (2, 4); y la función x² - 4x + 1 es polinómica, por tanto continua y derivable en todo R, en particular en (4, +∞).

Continuidad en x = 2

Falta estudiar la continuidad en x = 2 y en x = 4. f es continua en x = 2 si

f(2) = lim de x → 2 por la izquierda de f(x) = lim de x → 2 por la derecha de f(x).

Calculamos:

• f(2) = 4/2 = 2
• lim de x → 2 por la izquierda de f(x) =

Ejercicio 1

La región rayada representa todas las posibles soluciones de una inecuación:

3y - 2x < 4

Ejercicio 2

¿Qué región del plano x-y está delimitada por el siguiente conjunto?

Opción 3

Ejercicio 3

Una industria de lácteos tiene dos productos...

Opción 2

Ejercicio 4

Una compañía elabora un producto que tiene un precio unitario de venta de...

Opción 1

Ejercicio 5

La solución de un problema de programación lineal viene dada por la región...

Opción 1

Ejercicio 6

El gráfico representa las posibles combinaciones de productos, en cientos de unidades, C(x,y)=7x+8y+90.

3 pantalones y 1 camisa

Ejercicio 7

Marta y sus amigos pagaron $109 por 5 hamburguesas y 7 refrescos. Si la semana anterior consumieron 8 hamburguesas y 11 refrescos y la cuenta... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Matemáticas y Razonamiento Lógico" »

Justiziaren Etika: Deontologia eta Prozedimentalismoa

Moralean badago subjektua ez den beste alderdi bat: arauen eta justiziaren esparrua. Kantek eman zion hasiera tradizio horri, deontologista deritzona, eginbeharraz arduratzen delako. Apel, Habermas eta Rawlsek prozedimentalismoa garatu zuten, prozedura zein den argituz.

Formalismo Etikoa

Etika moralei eta heteronomoei egindako kritika da. Ontasunen etika materialek onaren materia edo edukia aztertzen dute, baina etika heteronomoek moraltzat jotzen dutena ez da giza nahimenak emandako helburua (nahimena heteronomoa izango litzateke eta ez autonomoa), lagungarria dena bakarrik eginbehar moraltzat hartzen baitute.

Inperatibo Kategorikoa eta Hipotetikoa

• Inperatibo hipotetikoak: Helburu bat lortu

Análisis de un Modelo Matemático

Considere un modelo matemático de la forma:

Para lo cual se dispone de una muestra n = 6 (la cual se recabó con una periodicidad semestral y las cifras están expresadas en $MM).

A partir de lo anterior, se pide:

a) Grafique los datos existentes y argumente qué tipo de relación causal se advierte entre las variables I y C.

A partir de las seis observaciones, no se advierte de forma clara una relación lineal entre las variables I y C; esto se debe a que el dato del semestre cuatro representa un dato atípico de la muestra. Ahora bien, al excluir este dato, se obtiene la siguiente gráfica:

Por lo cual podría advertirse una relación lineal ascendente.

b) Formule el modelo econométrico y determine, empleando

Problemas Resueltos de Probabilidad: Ejercicios Prácticos

1. Extracción de Bolas de una Urna

Una urna contiene 5 bolas rojas y 3 verdes. Definimos los siguientes sucesos:

• R₁: Sacar bola roja en la primera extracción.
• R₂: Sacar bola roja en la segunda extracción.
• V₁: Sacar bola verde en la primera extracción.
• V₂: Sacar bola verde en la segunda extracción.

Las probabilidades dadas son:

• P(R₁) = 5/8
• P(V₁) = 3/8
• P(R₂|R₁) = 6/9
• P(V₂|V₁) = 4/9

A) Probabilidad Total para la Segunda Bola Verde

Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total, la probabilidad de que la segunda bola sea verde es:

P(V₂) = P(R₁) · P(V₂|R₁) + P(V₁) · P(V₂|V₁)

Según los cálculos proporcionados:

P(V₂) = (5/8) · (5/9) + (3/8) · (2/9) = 25/72 + 6/... Continuar leyendo "Probabilidad Aplicada: Resolución de Ejercicios Fundamentales" »

Función:

Relación entre dos conjuntos de valores. A los elem del primer conj se les llama variable indep y a los elem del segundo se les llama variable depen. Y=f(x) A cada elemento del primer conj solo le puede corresponder un elem del segundo. Una función real de variable real relaciona nº reales con nº reales. Al conj de valores que puede tomar la variable indep se les llama dominio de la función.
Recorrido es el conj de valores que toma la variable depend.

Def de límite:

Se dice que el límite de una función f (x) cuando x tiende al valor a es L si el valor de la función se aproxima todo lo que queramos a L a medida que x toma valores cada vez más próximos al valor a. Lim x→a=L Donde L o a pueden ser +-∞ Definición de límite

Rentabilidad de un Plan de Inversión

Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x) se mide en miles de euros.

a) Dado que la función se expresa en miles de euros, si x = 100, la rentabilidad se calcula como:

R(100) = -0.001(100)² + 0.4(100) + 3.5 = 33.5, lo que equivale a 33500 €.

b) y c) La máxima rentabilidad se obtiene en el vértice de la parábola, cuya abscisa se encuentra resolviendo R'(x) = 0. Si R(x) = -0.001x² + 0.4x + 3.5, entonces R'(x) = -0.002x + 0.4. Igualando a cero, -0.002x + 0.4 = 0, obtenemos x = 0.4 / 0.002 = 200.

Sustituyendo x = 10 y x = 200 en la función de rentabilidad:

• R(10) = -0.001(10)² + 0.4(10) + 3.5 = 7.4, es decir, 7400 €.
• R(200) = -0.001(200)² + 0.4(200) + 3.5 = 43.5, es decir,

Heterocedasticidad: Definición, Causas y Consecuencias

La Heterocedasticidad es una violación del supuesto de varianza constante de los errores en los modelos de regresión. Idealmente, la desviación típica (varianza) de las perturbaciones aleatorias debe ser lo más pequeña posible.

Definición y Contraste con la Homocedasticidad

La heterocedasticidad (considerada un problema) aparece en la perturbación aleatoria (u) o error, cuando estos tienen una varianza no constante en el tiempo y, potencialmente, una media no nula. El objetivo es que el error sea:

• Pequeño.
• Estable.
• Constante.

La Homocedasticidad, por el contrario, implica una varianza constante del error, con errores pequeños y constantes en el tiempo, con media nula y varianza constante... Continuar leyendo "Problemas de Varianza No Constante y Correlación Residual en Regresión Lineal" »