Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Problema 1

1) Tres hombres suman en total 85 años. Dentro de 5 años la suma de sus edades será igual a la suma que tienen en la actualidad los dos menores; pero dentro de dos años el mediano tendrá la mitad de la suma de las edades actuales del pequeño y del mayor. ¿Qué edad tiene cada uno?

Solución:

Llamemos

Problema 2

2) Determinar la matriz A que verifica la ecuación A - 2B = AB', donde B = y B' representa la matriz traspuesta de B.

Solución:

Se trata de resolver: A - 2 = A ; es decir:

A - A = A - = A =

de forma que A =

= =

Problema 3

3) Analizar el sistema

Solución:

El sistema puede escribirse en la forma matricial:

=

Rango: Rang(A) -> = -14. Ran(A) = 3 = Ran(AB).

Se trata de un sistema compatible y... Continuar leyendo "Problemas resueltos de matrices, sistemas, optimización y cálculo con soluciones detalladas" »

Este documento presenta el diseño de cuatro investigaciones, cada una enfocada en una hipótesis específica. Se detallan los tipos de hipótesis, las variables, la manipulación, la medición y el diseño experimental utilizado.

Hipótesis 1: Ejercicio Físico y Pérdida de Peso

• Hipótesis: El ejercicio físico aeróbico posibilita una mayor y más permanente pérdida de peso y tejido graso que el ejercicio físico anaeróbico.
• Tipo de Hipótesis: De comparación de grupos.
• Variables:
  • Variable Independiente: Ejercicio físico
  • Variable Dependiente: Pérdida de peso y tejido graso.
• Manipulación: Por modalidades.
• Modalidad: Tipo de ejercicio físico - Ejercicio físico aeróbico - Ejercicio físico anaeróbico
• Medición: Pesa y plicómetro para medir

Conceptos Fundamentales de la Estadística

Para comprender la teoría estadística, es esencial tener en cuenta los siguientes conceptos básicos:

Definiciones Clave

• Población: Conjunto de elementos, con alguna característica común, objeto del estudio.
• Muestra: Subconjunto de elementos representativos de una población. Son los datos con los que se trabaja.
• Variable Estadística: Característica objeto de estudio de los elementos de la muestra. Un dato es el valor observado de una variable.
• Parámetros: Propiedad o valor que describe a la población.
• Estadísticos: Medidas que resumen la información de la muestra.

Clasificación de los Datos según su Naturaleza

Según su naturaleza, los datos pueden ser:

• Cualitativos: Si sus valores son códigos

Estadística y Control de Calidad en el Laboratorio Clínico

Medidas de Dispersión y Variabilidad

Rango o Amplitud

Diferencia entre el valor más alto y el más bajo. Para calcularlo, se resta el valor más bajo al más alto.

Varianza ($s^2$)

Media cuadrática de todas las desviaciones. Se usa para medir la dispersión con respecto a la media. Fórmula: $s^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 / (n-1)$.

Desviación Estándar (DE)

Manipulación matemática de la varianza (raíz cuadrada de la varianza). Es la medida de dispersión más utilizada.

Intervalos de Confianza

Porcentaje de datos que se esperan encontrar dentro de los intervalos que incluyen la media y las unidades específicas de DE en torno a la media:

• 68.3%: $\bar{X} \pm 1$ DE
• 95.5%: $\bar{X} \pm

Filósofos y Matemáticos de la Antigua Grecia

Tales de Mileto

Considerado el primer historiador de la filosofía antigua.

Pitágoras (569 a. C. – 475 a. C.)

Filósofo y matemático, destacó por:

• El teorema de Pitágoras.
• La armonía de las esferas y la afinación pitagórica.
• Contribuciones significativas a la matemática helénica, la geometría y la aritmética.

Euclides (330 a. C. – 275 a. C.)

Autor de la obra fundamental "Los elementos", publicada tras su muerte. Entre sus aportaciones destacan:

• La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180 grados.
• En el triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Platón (427 a. C. – 247 a. C.)

Seguidor de Sócrates, maestro de... Continuar leyendo "Fundamentos de Geometría y Pensamiento Matemático en la Antigua Grecia" »

Animalia Kulturala

Gizakia animalia bitxia da, haren izaera biologikoak kulturari ireki baitio bidea: hizkuntzari, teknikari, moralari, zuzenbideari... Gizakia, beraz, animalia kulturala da.

Kultura, berez, moldatzeko modu eraginkorra ere bada. Kulturaren mundua gizakiak sortu du, gauzak asmatzeko eta gauzei aurrea hartzeko gaitasunari esker.

Sozialak, Izatez?

Gizakia gizartekoia da izatez.

Aristoteles

Aristoteles dugu jarrera honen defendatzaile nagusia eta lehena. Haren ustez, gizakia animalia politikoa da; hots, gizartekoia da izatez. Behar-beharrezkoak ditu bai gizartea bai gizartearen bidez jasotzen duen kultura, berezkoak dituen gaitasunen arabera garatu ahal izateko.

Thomas Hobbes

Gizakia otsoa da gizakiarentzat. Gizabanako bakoitza, berekoikeriak... Continuar leyendo "Gizakia, Kultura eta Gizartea: Oinarrizko Kontzeptuak" »

1. IRUZKINA: *Publi/ekitaldi publ hitzaldia/eduki ekonomikoa+politikoa/egilea.
*XIX. mendean/1891ean kontserbadoreek jarritako zerga: estatu arteko itunen bidez mugatua. /Bizkaiko enpresa gizonek: ekitaldi: gobernuaren agindua oztopatzeko/Catalunyan.
*2 egoera kontrajartzen ditu; zergen bidez+etorkizun hurbilekoa, estatu arteko itunen bidez / ondorioak… metalurgia berriak/Tamaina erdiko enpresek; produkzioa aberastu.
*Gogoeta/beste ekintza aipatu.../Indar gehiago emateko bilerari… akordioa: enpr gizonak elkartzea industria sektore askotan.

Erabateko merkataritza konkurrentzian argi dago estatu ahulenak desabantailak dituela. Badirudi garapenerako bidez bitarteko aldia behar dela, neurri batean barneko industriak sustatzeko zerga mugatuen bidez.... Continuar leyendo "XIX. Mendeko Industria Iraultza Euskal Herrian: Enpresariak eta Gizartea" »

Conceptos Fundamentales de Estimación en Modelos Econométricos

El proceso de estimación en econometría implica varios pasos cruciales:

• Análisis de la magnitud y el signo de los estimadores.
• Evaluación de la significación estadística de los estimadores.
• Cálculo del grado de ajuste entre la realidad y la estimación.
• Determinación de los efectos de las variables explicativas sobre la variable endógena.

Usos Principales de los Modelos Econométricos

Los modelos econométricos se utilizan principalmente para:

• Análisis estructural: Comprender las relaciones entre variables.
• Planificación: Prever el comportamiento de una variable endógena.
• Simulación: Evaluar los posibles efectos de las intervenciones sobre la variable endógena, tanto en

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

Sistemas de Numeración y Fracciones

Un sistema de numeración es un conjunto de reglas, palabras y símbolos que nos permiten nombrar y representar todos los números.

Una fracción (o un número quebrado) es una expresión de la forma a/b en la que a y b, que debe ser distinto de 0, son números enteros.

Una fracción se llama irreducible si el valor absoluto del numerador y el valor absoluto del denominador son números naturales primos entre sí y el denominador es positivo.

Dos fracciones a/b y c/d son equivalentes (representan la misma situación) si: a × d = c × b.

Un número racional es el número representado por cualquier elemento de una clase de fracciones equivalentes.

El representante canónico... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Aritmética, Geometría y Estadística" »

Ecuaciones Cuadráticas

Forma General

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es una ecuación polinómica donde el mayor exponente de la incógnita (generalmente x) es dos. Su forma general es:

ax² + bx + c = 0

Donde a, b y c son coeficientes numéricos, con a ≠ 0.

Ecuaciones Cuadráticas Incompletas

Son aquellas en las que el coeficiente b es cero (ecuaciones de la forma ax² + c = 0) o el término independiente c es cero (ecuaciones de la forma ax² + bx = 0).

Ejemplos de resolución: