Continuidad y derivabilidad de una función por tramos en x=2 y x=4

Enunciado

Sea la función f definida por tramos:

• f(x) = -x + 4, si x < 2
• f(x) = 4/x, si 2 ≤ x < 4
• f(x) = x² - 4x + 1, si x ≥ 4

Estudio de la continuidad

Las tres expresiones que definen f son continuas en los intervalos indicados: la función -x + 4 es continua y derivable en R, en particular en (-∞, 2); la función 4/x es continua y derivable en R \ {0}, en particular en (2, 4); y la función x² - 4x + 1 es polinómica, por tanto continua y derivable en todo R, en particular en (4, +∞).

Continuidad en x = 2

Falta estudiar la continuidad en x = 2 y en x = 4. f es continua en x = 2 si

f(2) = lim de x → 2 por la izquierda de f(x) = lim de x → 2 por la derecha de f(x).

Calculamos:

• f(2) = 4/2 = 2
• lim de x → 2 por la izquierda de f(x) = lim de x → 2- (-x + 4) = -2 + 4 = 2
• lim de x → 2 por la derecha de f(x) = lim de x → 2+ (4/x) = 4/2 = 2

Como los tres valores son iguales, f es continua en x = 2.

Continuidad en x = 4

f es continua en x = 4 si f(4) = lim de x → 4- f(x) = lim de x → 4+ f(x).

Calculamos:

• f(4) = 4² - 4(4) + 1 = 16 - 16 + 1 = 1
• lim de x → 4 por la izquierda de f(x) = lim de x → 4- (4/x) = 4/4 = 1
• lim de x → 4 por la derecha de f(x) = lim de x → 4+ (x² - 4x + 1) = 16 - 16 + 1 = 1

Como los tres valores son iguales, f es continua en x = 4. Por tanto, f es continua en R.

Estudio de la derivabilidad

La función f es derivable en los intervalos donde cada pieza es derivable. Calculamos la derivada por tramos:

• f'(x) = -1, si x < 2
• f'(x) = -4/x², si 2 ≤ x < 4
• f'(x) = 2x - 4, si x > 4

Derivabilidad en x = 2

f es derivable en x = 2 si lim de x → 2- f'(x) = lim de x → 2+ f'(x).

Calculamos:

• lim de x → 2 por la izquierda de f'(x) = lim de x → 2- (-1) = -1
• lim de x → 2 por la derecha de f'(x) = lim de x → 2+ (-4/x²) = -4/4 = -1

Como los límites laterales coinciden, la función f es derivable en x = 2.

Derivabilidad en x = 4

f es derivable en x = 4 si lim de x → 4- f'(x) = lim de x → 4+ f'(x).

Calculamos:

• lim de x → 4 por la izquierda de f'(x) = lim de x → 4- (-4/x²) = -4/16 = -1/4
• lim de x → 4 por la derecha de f'(x) = lim de x → 4+ (2x - 4) = 8 - 4 = 4

Los dos límites laterales no son iguales, por lo que la función f no es derivable en x = 4.

Conclusión: f es derivable en R \ {4}.

Monotonía y extremos

Analizando la monotonía en cada tramo:

• f(x) = -x + 4 es una recta de pendiente -1, por lo tanto es decreciente en (-∞, 2).
• f(x) = 4/x es una hipérbola que es decreciente en [2, 4).
• f(x) = x² - 4x + 1 es una parábola cuya derivada es 2x - 4, por lo que en [4, +∞) es creciente.

Por lo tanto, la función tiene un mínimo relativo en el punto (4, 1).

Recta tangente en x = 3

En x = 3 la función se rige por la pieza f(x) = 4/x. Calculamos la recta tangente:

• f(3) = 4/3
• f'(x) = -4/x², luego f'(3) = -4/9

Ecuación de la recta tangente en x = 3:

y - f(3) = f'(3) (x - 3), es decir

y - 4/3 = (-4/9)(x - 3)

Resumen

Se ha corregido y comprobado lo siguiente:

• f es continua en todo R.
• f es derivable en todo R excepto en x = 4.
• f es decreciente en (-∞, 2) y en [2, 4), creciente en [4, +∞), y tiene un mínimo relativo en (4, 1).
• La recta tangente en x = 3 es y - 4/3 = (-4/9)(x - 3).