Manual para Representar Funciones y Resolver Problemas Matemáticos de Cálculo y Álgebra

Representación de una Función

Para representar gráficamente una función, se deben seguir los siguientes pasos:

• 1) Dominio: Determinar el conjunto de valores para los cuales la función existe.
• 2) Puntos de corte:
  • Con el eje Y (x=0).
  • Con el eje X (y=0).
  Con los números obtenidos, establecemos los puntos (x, 0) y (0, y).
• 3) Asíntotas:
  • Asíntota Vertical (AV): Se calcula el límite cuando x tiende al punto de discontinuidad. Si el resultado es infinito, se calculan los límites por la izquierda y por la derecha, observando los signos del infinito.
  • Asíntota Horizontal (AH): Se calcula el límite de la función cuando x tiende a infinito.
• 4) Crecimiento y decrecimiento: Se realiza la primera derivada de la función y se iguala a 0.
  • Si f'(x) > 0, la función es creciente.
  • Si f'(x) < 0, la función es decreciente.
• 5) Concavidad y convexidad: Se realiza la segunda derivada y se iguala a 0.
  • Si f''(x) > 0, la función es cóncava.
  • Si f''(x) < 0, la función es convexa.

Teoremas Fundamentales

Teorema de Bolzano

Si una función es continua en el intervalo cerrado [a, b] y el signo de f(a) es diferente al signo de f(b), entonces existe al menos un punto c en el intervalo donde la función se anula. Se sustituyen los puntos por separado en la función para verificar el cambio de signo. Posteriormente, sustituimos c por las x y lo igualamos al número que corresponda a f(c).

Teorema de Rolle

Si una función es continua en [a, b], derivable en (a, b) y se cumple que f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto c tal que f'(c) = 0.

Teorema del Valor Medio

Si una función es continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c tal que: f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a).

Optimización y Sistemas

Optimización

El objetivo es conseguir montar un sistema de ecuaciones para, a partir de ahí, despejar las variables x e y.

Discutir un Sistema

Si el Rango(A) ≠ Rango(A*), el sistema es indeterminado (sin solución). Dadas varias funciones, formamos una matriz (ejemplo: a 1 1 | 1). Después, calculamos el determinante |A| mediante la regla de Sarrus, lo que nos dará un valor de a (que puede ser positivo o negativo).

• Con el valor positivo, sustituimos a en la matriz original, tomamos el cuadrado superior izquierdo y aplicamos Sarrus para ver el rango resultante.
• Posteriormente, analizamos la matriz ampliada |A*| tomando todos los números excepto los de la primera columna y aplicamos Sarrus nuevamente.
• Con el valor negativo de a, se realiza exactamente el mismo procedimiento.

Álgebra y Cálculo

Ecuación Matricial

Para despejar X, donde esté la matriz A (a su izquierda o a su derecha), hay que multiplicar por su inversa A⁻¹. Después del signo igual, se debe colocar la A⁻¹ en la misma posición (izquierda o derecha) en la que se encontraba originalmente respecto a la X.

Derivadas Comunes

• Derivada de un número: 0
• Derivada de x: 1
• Derivada de xⁿ: n · xⁿ⁻¹
• Derivada de una raíz: 1 / (n · ⁿ√xⁿ⁻¹)
• Derivada de eˣ: eˣ
• Derivada de sen(x): cos(x)
• Derivada de cos(x): -sen(x)
• Suma: [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)
• Producto: [f(x) · g(x)]' = f'(x) · g(x) + g'(x) · f(x)
• Cociente: [f(x) / g(x)]' = [f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)] / [g(x)]²

Límites e Indeterminaciones

• Infinito / Infinito:
  • Si Grado P < Grado Q, el límite es 0.
  • Si Grado P = Grado Q, el límite es el cociente de los coeficientes principales.
  • Si Grado P > Grado Q, el límite es ± infinito.
• 0 / 0:
  1. Sacar factor común a la x y sustituir x por 0.
  2. Si hay una raíz, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado (signo contrario).
• Infinito - Infinito: En el caso de dos raíces, se multiplica y divide por la expresión conjugada (mismos términos con el signo central cambiado).

Continuidad de una Función

Para comprobar la continuidad, es necesario calcular los límites por la derecha y por la izquierda. Si todos los límites y el valor de la función en el punto son iguales, la función es continua; de lo contrario, es discontinua.