Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Resolución de Problemas Matemáticos Mediante Ecuaciones

22. Edades de Marisa y Esther

• Planteamiento: Esther = x, Marisa = x + 5. Cuando Esther tenga la edad actual de Marisa (es decir, pasen 5 años), ambas habrán sumado 5 años a sus edades actuales.
• Edad futura de Esther: x + 5
• Edad futura de Marisa: (x + 5) + 5 = x + 10
• Ecuación: (x + 5) + (x + 10) = 35
• Resolución: 2x + 15 = 35 → 2x = 20 → x = 10

27. Ahorros de Inés y María (Total = 17 €)

• Planteamiento: Dinero de Inés = x. Como tienen 17 € entre las dos, María tiene 17 - x. A María le faltan 4 € para tener el doble que Inés:
• Ecuación: (17 - x) + 4 = 2x
• Resolución: 21 - x = 2x → 21 = 3x → x = 7
• Resultado: Inés ha ahorrado 7 € y María ha ahorrado 10 € (17 - 7).

25. Dimensiones

Estadística Descriptiva

Definiciones y Cálculos

• Xi: Valor de la variable estadística.
• fi: Frecuencia absoluta (número de veces que se repite Xi).
• Fi: Frecuencia absoluta acumulada (sumatorio de fi).
• hi: Frecuencia relativa (fi dividido por el número total de datos).
• Hi: Frecuencia relativa acumulada (sumatorio de hi).
• Pi: Porcentaje (hi multiplicado por 100).
• xifi: Producto de Xi por fi.

Cálculo de la Moda

La moda se determina identificando el valor de Xi que corresponde al valor más alto de fi.

Cálculo de la Mediana

Para calcular la mediana, se divide el número total de datos entre 2. Se busca este valor (o el siguiente superior) en la columna Fi. El valor de Xi correspondiente es la mediana. Si el valor coincide exactamente con un valor en... Continuar leyendo "Estadística Descriptiva y Ecología: Conceptos Clave" »

Identidades Trigonométricas Fundamentales

Suma y Diferencia de Ángulos

• Seno de la suma: sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β
• Coseno de la suma: cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β
• Tangente de la suma: tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 − tan α tan β)
• Nota: Las fórmulas para la diferencia (α - β) se obtienen sustituyendo β por -β y usando las identidades de ángulos negativos.

Ángulo Doble

• Seno del ángulo doble: sen(2α) = 2 sen α cos α
• Coseno del ángulo doble: cos(2α) = cos²α − sen²α
• Tangente del ángulo doble: tan(2α) = (2 tan α) / (1 − tan²α)

Ángulo Mitad

• Seno del ángulo mitad: sen(α/2) = ±√[(1 − cos α) / 2]
• Coseno del ángulo mitad: cos(α/2) = ±√[(1 + cos α) / 2]
• Nota: El signo ± depende

Txina

Munduko estadurik jendetsuena da (1.300 miloi biztanle). Munduko armadarik handiena dauka eta indar militarraz gain, arma nuklearrak ditu. Txinako ekonomiaren hazkundea izugarria izan da azken urteotan. Merkatua handia izanik, munduko enpresa guztiak bertan kokatu nahi dira eta bere ekonomiaren esportatzeko gaitasuna izugarria da. Agentzia espaziala dauka eta teknologian gero eta aurreratuagoak doaz. Hezkuntzan ere bultzada handia eman dute eta, alde batetik, bere unibertsitateek hobekuntza nabarmena izan dute eta, bestalde, txinatarrak munduko unibertsitate onenetan ikasten dute. Politika arloan, nahiz eta gizakien eskubideen defentsan zenbait aurrerapausu eman, Txina alderdi komunistaren diktadura da. Nazioarte mailan bi erronka nagusi... Continuar leyendo "Munduko potentziak XXI. mendean: Txina, Kanada, India, Japonia eta Errusia" »

Politika Autarkikoa eta Atzerapenaren Arrazoiak

Gerra Zibilaren ondoren, komunikabideak eta garraiobideak egoera oso txarrean geratu ziren, eta laborantzan zein abeltzaintzan produkzio-ekipo ugari suntsitu ziren. Gainera, Espainiako Bankuak gerra-materiala ordaintzeko 150 tona urre erabili zituen, eta horrek eragin oso negatiboa izan zuen ekonomia suspertzeko neurriak hartzerakoan. Hala ere, hori ez da nahikoa gerra ondorengo 15 urteetan Espainiako ekonomiak izan zuen atzerapen handia azaltzeko.

Atzerapen hori ulertzeko, garrantzi handiagoa du erregimen frankistak ezarritako autarkiak. Politika ekonomiko honen helburu nagusia herrialdearen buruaskitasuna lortzea da, behar duen guztia ekoitziz eta atzerriko inportazioak saihestuz. Horrela, nazioarteko... Continuar leyendo "Francoren Autarkia Espainian: Atzerapen Ekonomikoaren Gakoak" »

♦ BOL:
Cv = 1,3
Vv = 22 m/s o Dato (α = 0°)
α = 90°
Rv = (2T cos 45° + 2T + 2T cos 80°) cos 30°
T´max = T · 1,5

♦ DEFENSA

Buque:

• Calado mínimo: 1 m
• Carga del buque: 19 · 0,9 = 17 (no)
• Calado = 13 (sí)
• Δc = 50 000 · 1,4

Vv: (F = 0,15; M = 0,09)

Remolcador, transbordador, preparación, favorable.
Cm: salvo RB Quilla. VastCost (1,5)

E_abs = F · E_cin · 2

Ce: (Def. Cont. 0,57; Ais. 0,75)

Cb = 70 000 / (0,95 · L) · 13 · 1,03 (marino)

Cg = 1 (atraque en parte recta)
Cc = 1 (cerrada); 0,8 (abierta)
Cs = 1 (Cr sistema rígido)

♦ CAPACIDAD DE ATRAQUE

1. Lineal de atraque:
Θ = (nº buques · E_sl · 24 h · 1 d) / (365 · 24 · L_tot) · 100 (%) < 70 %: OK

2. Capacidad de atraque:
CAPCD = N · Θ · T · R

N = L_tot / (1,25 · E_slor)

Θ_oper =... Continuar leyendo "Fórmulas de Ingeniería Portuaria: Atraque, Defensas, Operatividad y Oleaje" »