Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Conceptos Fundamentales de Funciones y Relaciones

Conceptos Básicos

Relaciones Matemáticas: Conjunto de parejas ordenadas X y Y, donde la relación es un subconjunto del producto cartesiano.

Función: Es un conjunto de pares ordenados de números X y Y, donde nunca se repite el primer número.

Dominio: Es el conjunto de todos los posibles valores de ingreso que la función acepta.

Rango: Es el conjunto de todos los valores de salida de una función.

Codominio: Es el conjunto de todos los valores posibles de salida de una función.

Formas de Representación

Verbal: Mediante una descripción en palabras.

Algebraica: Mediante una fórmula explícita.

Diagrama de Flechas: De un conjunto a otro, indicar la relación de cada valor.

Pares Ordenados: Se representa... Continuar leyendo "Definiciones Clave de Funciones y Relaciones" »

Examen 1

1. 1/5 √2·3^3 - 1/2 √2·3^2 + 1/10 √2^3·3 -> 1/5 ·3√6 - 1/2 ·3√2 + 1/10 ·10√6 -> 8√6/5 -3√2/2

2. √18y - √2y + 5/2 · √8y - 4/3 · √9y -> 3√2y - √2y + 5/2 ·2 √2y - 4/3 · 3√y -> 7√2y - 4√y

3. ^3√3a^5b · √2ab^4 = ^6√3^2a^10b^2 · 2^3a^3b^12 -> ^6√3^2a^13b^142^3 -> a^2b^2 ^6√3^2ab^22^3

^3√a·a^8 -> ^6√a^a -> a^6√a^3 -> a√a

4. 9 ^3√6 - 4 ^3√6 + ^3√6 -> 6 ^3√6 / a^3 b^3 c^4 ^3√c^2

5. log2 0,125=x -> log2(2^-3)=x->-3=x->-3

logx 3=-1-> 1/3

log5 x=3-> x=5^3-> x=125

logx 0,04=-2-> 0,04=x^-2 (1/25) =x^-2-> 1/25 =1/x^2=x^2=+/-√25=+/-5

6. log 18->descomp. factors-> log=log (2·3^2) = log 2+log 3^2->log3^2=2log3->log... Continuar leyendo "Resolucions d'Exàmens de Matemàtiques: Guia Completa i Detallada" »

Álgebra Lineal

Truco Inversa: det, traspuesta, adjunto, adjunto entre det

Trouche For

Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución si el rango de la matriz de los coeficientes es igual al de la matriz ampliada. rga=rgb. SC = num incog det 1 solución, no num I infinitas rganorgb SI

Sistema Lineal: Sistema de ecuaciones formado por ecuaciones lineales. Sistema de ecuaciones de n ecuaciones y m incógnitas, coeficientes y ampliada.

Sistema Equivalente: Cuando tienen el mismo conjunto de soluciones.

Sistema Homogéneo: Términos independientes cero, por lo menos una solución es cero.

Matrices y Determinantes

Producto de Matrices: Para poder realizar el producto de dos matrices AB, debe cumplirse que el número de columnas de la matriz A sea igual... Continuar leyendo "Apuntes Esenciales de Matemáticas: Álgebra, Cálculo y Geometría" »

Hip.Clásicas//perturb ale es 0
E(u)=0 Hmocedasticidad(varianz constante de las perturbas a lo largo de la dstribucin)

Test White(ho:homoced) R²_aux→χ²_m // No autoco:
Perturbacions no estas autocorre a lo largo de la distrib. Test D-W(Ho:no autocorr) 0(auto+)dl(?)du(no auto)4-du(?)4-dl(aut+)4

Con y(-1):h Durbin= p.√(t/1-t.
varβ_y(estándar error (-1)²) Si h entre -∞,1,64 Ho(no autoco)

Esfericidad(homoced +noautocorr los estimadores MCO presentaran propiedades probab:

Lineales en Y:β_MCO=(x'x)^-1x'y=f(y)=f(u)

Insesgadez

E(B_mco)=B(supuesto x fijs)

Optimldd y efic

V(B_mco)σ_u².(x'x)^-1

Estimador MCO+Distrib Normal pertub=Propiedades MV(distric asintoticamente Normal,son consistentes y asntoticamente eficients

Dist normal?J-B (Ho:
Normalidad residuos : JB=... Continuar leyendo "Fundamentos de Econometría: Hipótesis Clásicas y Estimación MCO" »

Euskal Narrazio Laburren Bilduma

1. Eguzkiak ortzi urdinean: Pertzevalen ametsa

Pertzeval izeneko zalduna erromes itsu batekin topatzen da oihanean. Itsuak zuhaitz batetik sagar bat hartzeko eskatzen dio zaldunari. Honek sagarra hartzean, zuhaitzetik salto egin eta ikusitako Adarbakarraren atzetik korrika hasten da. Baina estropezu egin eta erori egiten da. Berehala, dontzeila batekin amesten hasten da.

Dontzeila honek bere hiru nebekin bizi den gaztelura eramaten du. Pertzeval esnatzean, guztiek Adarbakarra harrapatu nahi dutela konturatzen dira. Aldi berean, Adarbakarrari dontzeila gustatzen zitzaiola ere ohartzen dira. Pertzevalek eta dontzeilak ume bat izan ondoren, Adarbakarrarekin bukatzeko, oihanaren bihotz-bihotzeko zuhaitz bati lotzen... Continuar leyendo "Euskal Narrazio Laburrak: Ametsak, Misterioak eta Itsasoa" »

Resolución de Polinomios

Encuentra un polinomio P(x) = x² + bx + c:

• Si es divisible por (x + 1), entonces x = –1 es raíz: P(–1) = (–1)² + b(–1) + c = 1 – b + c = 0 ⇒ c = b – 1 (1)
• Al dividirlo por (x + 2) el resto es 5, por tanto P(–2) = 5: P(–2) = (–2)² + b(–2) + c = 4 – 2b + c = 5
• Sustituimos c = b – 1: 4 – 2b + (b – 1) = 5 ⇒ 3 – b = 5 ⇒ b = –2
• Calculamos c: c = b – 1 = –2 – 1 = –3

Polinomio final: P(x) = x² – 2x – 3

Problemas de Sistemas de Ecuaciones

• Repartir 330 €: x + y + z = 330; x = y + 20; x + y – 2z = 0. Solución: (120, 100, 110).
• Pagado factura: Sistema: 20x + 50y + 100z = 1420; 4y – 3z = 5; 5x – 2y – 2z = –4. Dividimos la primera entre 10: 2x + 5y + 10z = 142. Solución:

Teoría de la Producción y Costos: Fundamentos Microeconómicos

1. Introducción a la Teoría de la Firma (TF)

La Producción es la actividad que crea utilidad. La Teoría de la Firma busca explicar cómo varían los costos con el nivel de producción.

Componentes Básicos de la Teoría de la Firma:

• Tecnología de producción.
• Restricción de costo.
• Elección de los factores.

2. Tecnología y Función de Producción

La Tecnología de Producción describe cómo las empresas transforman los factores de producción (insumos) en productos.

La Función de Producción es la relación matemática que describe las diversas formas en las cuales se pueden combinar los insumos para obtener distintos niveles de producción. Los factores principales son el Trabajo