Ejercicios Resueltos de Polinomios, Sistemas y Derivadas

Resolución de Polinomios

Encuentra un polinomio P(x) = x² + bx + c:

• Si es divisible por (x + 1), entonces x = –1 es raíz: P(–1) = (–1)² + b(–1) + c = 1 – b + c = 0 ⇒ c = b – 1 (1)
• Al dividirlo por (x + 2) el resto es 5, por tanto P(–2) = 5: P(–2) = (–2)² + b(–2) + c = 4 – 2b + c = 5
• Sustituimos c = b – 1: 4 – 2b + (b – 1) = 5 ⇒ 3 – b = 5 ⇒ b = –2
• Calculamos c: c = b – 1 = –2 – 1 = –3

Polinomio final: P(x) = x² – 2x – 3

Problemas de Sistemas de Ecuaciones

• Repartir 330 €: x + y + z = 330; x = y + 20; x + y – 2z = 0. Solución: (120, 100, 110).
• Pagado factura: Sistema: 20x + 50y + 100z = 1420; 4y – 3z = 5; 5x – 2y – 2z = –4. Dividimos la primera entre 10: 2x + 5y + 10z = 142. Solución: (6, 8, 9).
• Tren viajan personas: Sistema: x + y + z = 44; z – 6 = 3(y – 6); x + 8 = (z + 8)/2. Solución: (8, 12, 24).
• 90 alumnos: Sistema: x + y + z = 90; x + 7 = y – 7; z + 4 = (x – 4)/2. Solución: (16, 30, 44).
• Diferencia entre números: Sea el número: 100x + 10y + z. Sistema: (100x + 10y + z) – (100z + 10y + x) = 396; y = (x + z)/2. Solución: 531.

Funciones, Límites y Continuidad

La expresión que proporciona:

• a) f(1) = 60(1)/1 + 5 = 10
• b) 60t = 30(t + 5) ⇒ 60t = 30t + 150 ⇒ 30t = 150 ⇒ t = 5
• c) f(t) = 60/1 + 5/t = 60/1 = 60
• d) Sí, hay una asíntota horizontal en y = 60 y una vertical en t = –5.

Análisis de continuidad:

• 2ax + 3 si x < 1: Límite izquierda (2a + 3), f(1) = 3, Límite derecha (1 – b). Igualando: a = 0, b = –2.
• 2x + 6 si x < -1: En x = -1, discontinuidad evitable. En x = 0, continua. En x = 1, discontinuidad de salto finito.

Cálculo de Derivadas

Derivadas en un punto

• f(x) = x² – 3x + 1 en x = 2: f'(2) = 1.
• g(x) = 2/(x + 1) en x = 0: g'(0) = –2.
• h(x) = √(x + 2) en x = –1: h'(–1) = 1/2.

Derivadas de funciones

• a) f(x) = 2x³ – 4x² + 5x – 3 ⇒ f'(x) = 6x² – 8x + 5
• b) f(x) = (3x² – x)/2 ⇒ f'(x) = (6x – 1)/2
• c) f(x) = (x² – x)⁷ ⇒ f'(x) = 7(x² – x)⁶(2x – 1)
• d) f(x) = (x² – 1)/(x + 1) ⇒ f'(x) = 1
• e) f(x) = √(3x² + 2x) ⇒ f'(x) = (3x + 1)/√(3x² + 2x)
• f) f(x) = x²√(x + 1) ⇒ f'(x) = 2x√(x + 1) + x²/(2√(x + 1))
• g) f(x) = e^(x² + x) ⇒ f'(x) = e^(x² + x)(2x + 1)
• h) f(x) = ln(x² + 1) ⇒ f'(x) = 2x/(x² + 1)
• i) f(x) = sen(3x – 2) ⇒ f'(x) = 3cos(3x – 2)
• j) f(x) = tg(x² – 1) ⇒ f'(x) = 2x·sec²(x² – 1)

Derivadas avanzadas

• a) f(x) = 2 ln(√x) ⇒ f'(x) = 1/x
• b) f(x) = 3x²·e^(1/x) ⇒ f'(x) = e^(1/x)(6x – 3)
• c) h(x) = (x + 1)² / x ⇒ h'(x) = 1 – 1/x²
• d) h(x) = (2x⁴ + x²)/(x³ – 3x²) ⇒ h'(x) = (2x² – 12x – 1)/(x – 3)²
• e) y = ln(1 / √(x² + 1)) ⇒ y' = –x/(x² + 1)